课时测评8 函数的单调性与最值（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评8　函数的单调性与最值 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.下列函数在区间(0，1)上为单调递增函数的是(　　) A.y＝－x3＋1 B.y＝cos x C.y＝lox D.y＝x－ 答案：D 解析：y＝－x3＋1，y＝cos x，y＝lox在(0，1)上都为单调递减函数，y＝x－在(0，1)上为单调递增函数.故选D. 2.函数f(x)在(　　) A.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C.(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D.(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 答案：C 解析：函数f(x)的定义域为{x｜x≠1}.f(x)－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数.故选C. 3.若函数f(x)，则f(x)的值域为(　　 ) A.(－∞，3] B.(2，3] C.(2，3) D.[3，＋∞) 答案：B 解析：f(x)2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0＜≤1，所以f(x)∈(2，3].故选B. 4.已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)＜0的解集为(　　) A.(e，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，＋∞) 答案：C 解析：函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞).因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f(x)＜0的解集为(0，1).故选C. 5.(多选)已知函数f(x)＝x－，下列说法正确的是(　　) A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R 答案：BCD 解析：当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD. 6.(多选)已知函数f(x)则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)＞f(2) C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D.当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 答案：BC 解析：易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误.故选BC. 7.(多空题)函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的单调递增区间为　　　　　　　，单调递减区间为　　　　　　　. 答案：(－∞，－1]和[0，1]　(－1，0)和(1，＋∞) 解析：由于y＝ 即y 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞). 8.(开放题)已知命题p：“若f(x)＜f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是　　　　. 答案：f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)只要满足题意即可) 解析：由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)＜f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题. 9.(13分)已知f(x). (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(6分) (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(7分) 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x). 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f－f－. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. (2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f－f－ . 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 答案：A 解析：不妨令x1＜x2，所以x1－x2＜0，＞－1⇔f－f＜－(x1－x2)⇔f＋x1＜f＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)＜g(x2)，又x1＜x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数.故选A. 11.设a∈R，函数f(x)若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为　　　　　　　. 答案：[1，2] 解析：当x＞1时，x2＋－3a＝x2＋＋－3a≥3－3a＝12－3a，当且仅当x2，即x＝2时等号成立；当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋9＝(x－a)2＋9－a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2]. 12.(15分)(一题多问)已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＞0. (1)求证：f(x)为奇函数；(4分) (2)试判断f(x)的单调性，并加以证明；(5分) (3)若对任意的t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)＜0恒成立，求实数k的取值范围.(6分) 解：(1)证明：取x＝y＝0，得f(0)＝0；取y＝－x， 得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数. (2)f(x)为R上的增函数. 证明如下：任意取x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1). 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，由已知得f(x2－x1)＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0， 即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为R上的增函数. (3)由f(t－t2)－f(k)＜0得f(t－t2)＜f(k). 因为f(x)为R上的增函数，所以t－t2＜k，即t－t2＜k对∀t∈R恒成立. 因为t－t2＝－(t－)2＋≤，所以k＞. 故实数k的取值范围为. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(新定义)(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是(　　) A.函数y＝x2＋1是闭函数 B.函数y＝－x3是闭函数 C.函数f(x)是闭函数 D.k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数 答案：BD 解析：对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，故A错误；对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则解得所以存在区间[－1，1]，使得y＝－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，所以函数y＝－x3是闭函数，故B正确；对于C，y1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)不是闭函数，故C错误；对于D，y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x＝－2＋的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，故D正确.故选BD. 14. 已知函数f(x)是上的单调函数，且f(f(x)－x－log2x)＝5，则f在[1，8]上的值域为　　　　. 答案：[3，13] 解析：因为f是上的单调函数，所以存在唯一的t∈，使得f5，则f－x－log2x＝t，ft＋x＋log2x，f2t＋log2t＝5.因为y＝2t＋log2t为上的增函数，且2×2＋log22＝5，所以t＝2，所以fx＋log2x＋2.因为f在[1，8]上单调递增，所以f≤f≤f，得3≤f≤13，所以f(x)在[1，8]上的值域为[3，13]. 学科网（北京）股份有限公司 $