课时测评5 二次函数及其性质（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评5　二次函数及其性质 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　 ) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x 答案：B 解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.故选B. 2.函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　 ) 答案：C 解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C. 3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论错误的是(　　) A.b＞0 B.c＞0 C.ff D.不等式＜0的解集是∪(3，＋∞) 答案：A 解析：由题图知抛物线开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴交点纵坐标为正，所以c＞0，因为－1＋2＝3，所以b＜0，由根与系数的关系得1×2＝2，即b＝－3a＜0，c＝2a＞0，对称轴x，则ff，故A错误，B、C正确；不等式＜0 可化为(ax－3a)(－3ax＋2a)(2ax＋a)＜0，即(x－3)(3x－2)(2x＋1)＞0，解得－＜x＜ 或x＞3.所以不等式的解集是∪，故D正确.故选A. 4.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　) A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0 C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0 答案：A 解析：由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，所以4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)＞f(1)，所以f(x)的图象开口向上，a＞0.故选A. 5.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 答案：B 解析：易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. 6.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　　) A.a＋b＋c＞0 B.a－b＋c＜0 C.abc＞0 D.b＝2a 答案：AB 解析：由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故B正确；函数图象的开口向下，a＜0，对称轴－＞0，即b＞0，当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故C错误；若b＝2a，则对称轴－－1，与图象不符，故D错误.故选AB. 7.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　 ) A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋ C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(｜x｜)有四个零点 答案：ABC 解析：二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(｜x｜)＝x2－2｜x｜有3个零点，故D不正确.故选ABC. 8.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－4x＋3 解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 9.(开放题)请写出一个函数f　　　　　使之同时具有如下性质： (1)函数f为偶函数；(2)f的值域为[0，＋∞). 答案：(答案不唯一). 解析：根据题意，要求函数f为偶函数，则函数f关于直线x＝2对称，而f的值域为[0，＋∞)，f可以为二次函数，如f(答案不唯一). 10.(多空题)已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根，则：(1)f(x)的解析式为　　　 　；(2)若f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，则m＝　　　，n＝　　 　. 答案：(1)f(x)＝－x2＋x　(2)－2　0 解析：(1)由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0，则4a＋2b＝0，又方程f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，得b＝1，从而a＝－， 所以f(x)＝－x2＋x. (2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，则有2n≤，即n≤.又f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[m，n]上单调递增，于是得即解方程组得m＝－2，n＝0，所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在[－2，0]上的值域为[－4，0]. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞) 答案：C 解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，所以a－1≤－1或a－1≥2，所以a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞).故选C. 12.已知函数f在上的最大值为A，在上的最大值为B，若A≥2B，则实数m的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由函数f，作出f(x)的图象如图①： 由题意得f(1)＝f(3)＝f(5)＝2，当1＜m≤5时，函数f在上的最大值为2，即A＝2，要使A≥2B，则B≤1，令f(x)＝1，解得x1＝3－，x2＝2，x3＝4，x4＝3＋，由图②可得，要使函数f在上的最大值为B，且B≤1，则或解得3－≤m≤. 当m＞5时，由图③可得，f在上的最大值A＝fm2－6m＋7＞0，在上单调递增，最大值B＝f＞fA＞0，A≥2B不可能成立.综上，实数m的取值范围是. 13.(15分)(2025·江西南昌开学考)已知函数ftx2＋x－3t＋1，. (1)若f在上单调递增，求实数t的取值范围；(5分) (2)若t＞0，设函数f在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值.(10分) 解：(1)当t＝0时，fx＋1，则f在上单调递增，满足条件； 当t≠0时，ftx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f在上单调递增，则解得－≤t＜0. 综上，若f在上单调递增，则实数t的取值范围为. (2)当t＞0时，ftx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0，所以f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增； 当－≥－1，即t≥时，f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当－≤－2，即0＜t≤时，f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t； 当－2＜－＜－1，即＜t＜时，f(－2)＝t－1，f(－1)＝－2t； 当t－1＝－2t时，即t时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝f(－2)＝－； 当t－1＞－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当t－1＜－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t. 综上，g 所以当t时，g(t)min＝g()＝－. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.已知函数f2ax2－2 024x－2 025，对任意t∈R，在区间上存在两个实数x1，x2，使≥1成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪∪[1，＋∞) D.∪∪ 答案：D 解析：存在两个实数x1，x2，使≥1⇔f－f≥1，当a＝0时，f－2 024x－2 025，f－f2×2 024＞1，显然符合；当a≠0时，f2ax2－2 024x－2 025与y＝2ax2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f2ax2，当a＞0时，此时f－2a－0≥1，故a≥；当a＜0时，此时－f0－2a≥1，故a≤－.综上，实数a的取值范围是∪∪.故选D. 15.(多选)对任意的x∈R，函数fax2－3x＋的值域是，则下列结论中正确的是(　　) A.a＞0 B.a2b＝9 C.a2＋4b的最小值是12 D.a2＋ab＋3a＋b的最小值是6－6 答案：ABC 解析：因为函数fax2－3x＋的值域是，所以a＞0，且f0，即－＋0，所以a2b＝9，故A，B正确；由a2b＝9，得b＞0，则a2＋4b＝a2＋≥212，当且仅当a2，即a时取等号，所以a2＋4b的最小值是12，故C正确；由a2b＝9，得b＞0，ab＞0，则a2＋ab＋3a＋b＝a2＋＋＋3a≥2＋26＋6，当且仅当即a时取等号，所以a2＋ab＋3a＋b的最小值是6＋6，故D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $