课时测评4 基本不等式（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评4　基本不等式 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.的最大值为(　　) A.9 B. C.3 D. 答案：B 解析：当－6≤a≤3时，3－a≥0，a＋6≥0，由基本不等式得≤，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号.故选B. 2.设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A.4－1 B.4＋2 C.4＋1 D.6 答案：A 解析：因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋3＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)，即x－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. 3.若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. 答案：C 解析：a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C. 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 答案：C 解析：由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×( 2x＋)≥80＋20160，当且仅当2x，即x＝2时取等号.所以该容器的最低总造价是160元.故选C. 5.设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则＋的最小值为(　　) A.2－1 　B.2＋1 　 C.－1 D.＋1 答案：A 解析：当x＞0时，＋＋＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当，即x－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，＋＋＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以＋的最小值为2－1.故选A. 6.(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 答案：AC 解析：因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1).所以x2＋y＝x2－x＋1＋，当x时，x2＋y的最小值为，故A正确；＋5＋＋≥5＋29，当且仅当x，y时等号成立，故B错误；x＋y＋21＋2≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y时等号成立，故＋≤，即＋的最大值为，故C正确；log2x＋log4y＝log2x＋log2log2，x2y＝x2x·x·≤)3，当且仅当x＝2－2x，即x时等号成立，所以x≤.所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误.故选AC. 7.(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.a＋b＋≥2 B. C.≥a＋b D.(a＋b)≥4 答案：ACD 解析：因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2，即a＝b时取等号，故A正确；因为a＋b≥2＞0，所以≤，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为≤，当且仅当a＝b时取等号，所以a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，即≥a＋b，故C正确；因为(a＋b)2＋＋≥2＋24，当且仅当a＝b时取等号，故D正确.故选ACD. 8.函数y(x＞－1)的最小值为　　　　. 答案：0 解析：因为yx－1＋x＋1＋－2(x＞－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时等号成立.所以y(x＞－1)的最小值为0. 9.(开放题)写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　　　. 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一) 解析：该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：＋1＋9＋＋≥10＋216，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 10.(2025·江苏南京六校联考)函数y＝loga(x＋2)－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为　　　　. 答案：5 解析：对于函数y＝loga(x＋2)－3，令x＋2＝1，可得x＝－1，y＝－3，可知A(－1，－3)，若点A(－1，－3)在直线mx＋ny＋1＝0上，则－m－3n＋1＝0，即m＋3n＝1，则＋＋＋＋3，且mn＞0，则，＞0，可得＋＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当，即m＝n时等号成立，所以＋的最小值为5. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025 ·江苏苏州3月适应性考试)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为a＋b＝4，所以a2＋b2＋2ab＝16≥4ab，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，从而＋，令t＝ab≤4，设y，显然y＞0，则yt2＋2t＋17y－18＝0，因为关于t的一元二次方程有实数根，所以Δ＝4(1－y)2－4y≥0，整理得－64y2＋64y＋4≥0，即16y2－16y－1≤0，解得≤y≤，注意到y＞0，从而0＜y≤，当且仅当Δ＝0时等号成立，即t1－1－49－4＜22＝4，所以y的最大值，即＋的最大值为.故选D. 12.已知x＞0，y≥0，且x＋2y＝1.若m2－m≤－恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案：[1，4] 解析：因为x＞0，y≥0，且x＋2y＝1，所以－－－－＋－10≥2－10＝－2，当且仅当，即x＝1，y＝0时等号成立，则m2－m≤－2，即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，则实数m的取值范围为[1，4]. 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)求＋的最小值；(5分) (2)求＋的最小值；(5分) (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值.(5分) 解：(1)法一：＋＋＋＋＋≥2＋，当且仅当，即a＝b时取等号，所以. 法二：＋＋＋－2＋)(2a＋b)－2－2≥－2，当且仅当，即a＝b时取等号，所以. (2)因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以＋[2a＋(b＋1)](4＋＋)≥(4＋2)，当且仅当，即a，b时取等号，所以. (3) 由2＝2a＋b≥2得2ab≤1， 所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5， 当且仅当2a＝b，2a＋b＝2，即b＝2a＝1时取等号， 所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(2025·江西重点中学协作体联考)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤＋恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为x＋y＝6，所以t＋＋ ＝x＋1＋－2＋y＋2＋－4＝3＋＋，所以t＝3＋＋3＋＋＋≥＋24，当且仅当y＝4，x＝2时等号成立，所以4，a≤4，故实数a的取值范围是. 15.(2025·浙江宁波“十校”联考)已知正实数a，b，c满足b＋c＝1，则＋的最小值为　　　　　　　. 答案：16 解析：因为b＋c＝1，所以＋a·＋a·＋a·＋a·(＋＋2)＋，由于b，c为正实数，故由基本不等式得＋≥26，当且仅当，即b，c时，等号成立，所以a·(＋＋2)＋ ≥8a＋8(a＋1)＋－8≥2－8＝16，当且仅当8(a＋1)，即a时等号成立，综上，＋的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $