第十章 6 第五节 离散型随机变量及其分布列、数字特征（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦离散型随机变量及其分布列、数字特征等高考核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑梳理知识体系，通过课标研读、考点分层讲解、真题演练等环节，帮助学生构建从分布列性质到均值方差决策的完整解题框架，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，设计多维探究案例（如甲、乙比赛得分分布列建模）和分层练习，结合真题再现与教材例题对比，培养学生用概率模型解决实际问题的能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 【课标研读】　1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.　2.理解离散型随机变量的数字特征(均值、方差)，并能解决一些简单的实际问题. 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3.两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. [微提醒]　随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布. 4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋pn＝pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. [微提醒]　方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 【常用结论】 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数. (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). (3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2). (4)均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量 B.在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 D.方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小 答案：ACD 2.(链接人教A选择性必修三P60T2)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是(　　) A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚1点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点 答案：D 解析：第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D. 3.(链接人教A选择性必修三P66T1)已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A. B.4 C.－1 D.1 答案：A 解析：E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.故选A. 4.已知离散型随机变量X的取值为有限个，E＝，D＝，则E(X2)＝　　　　. 答案： 解析：因为E＝，D＝，由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，得E＝D＋＝＋＝. 考点一　离散型随机变量分布列的性质 　　　　自主练透 1.设离散型随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 2 3 P 则下列各式中正确的是(　　) A.P(X＜3)＝ B.P(X＞1)＝ C.P(2＜X＜4)＝ D.P(X＜0.5)＝0 答案：C 解析：P(X＜3)＝＋＋＋＝，故A错误；P(X＞1)＝＋＝，故B错误；P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝，故C正确；P(X＜0.5)＝＋＝，故D错误.故选C. 2.若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[1，2] C.(1，2] D.(1，2) 答案：C 解析：由随机变量X的分布列知，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，故当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].故选C. 3.若离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝，其中a是常数，则P的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为P＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，解得a＝.故P(＜X＜)＝P＋P＝×＋×＝.故选D. 4.(双空题)随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(｜X｜＝1)＝　　　　，公差d的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤，所以公差d的取值范围是［－，］. 离散型随机变量分布列的性质的应用 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值. 2.利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 注意：若X为随机变量，则aX＋b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列. 　　 考点二　离散型随机变量的分布列、均值与方差　　　　多维探究 角度1　离散型随机变量的分布列 (2025·山东淄博模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得－1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列. 解：(1)依题意可得X的可能取值为－1，0，1. 所以P(X＝－1)＝(1－0.6)×0.5＝0.2， P(X＝0)＝0.6×0.5＋(1－0.6)×(1－0.5)＝0.5， P(X＝1)＝0.6×(1－0.5)＝0.3， 所以X的分布列为 X －1 0 1 P 0.2 0.5 0.3 (2)依题意可得Y的可能取值为－2，－1，0，1，2， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝－1)×P(X＝－1)＝0.22＝0.04， P(Y＝－1)＝2×P(X＝－1)×P(X＝0)＝2×0.2×0.5＝0.2， P(Y＝0)＝2×P(X＝－1)×P(X＝1)＋P(X＝0)×P(X＝0)＝2×0.2×0.3＋0.52＝0.37， P(Y＝1)＝P(X＝0)×P(X＝1)×2＝0.5×0.3×2＝0.3， P(Y＝2)＝P(X＝1)×P(X＝1)＝0.32＝0.09. 所以Y的分布列为 Y －2 －1 0 1 2 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 角度2　离散型随机变量的均值与方差 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组.观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表： 株高增量(单位：厘米) 第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2 第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1 第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在(7，10]内的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在(7，10]内，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)用“Yk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量在(4，10]内，“Yk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量在(10，16]内，k＝1，2，3.比较方差D，D，D的大小，并说明理由. 解：(1)记“从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在(7，10]内”为事件A，所以P＝＝. (2)记“从第组的鸡冠花中各随机抽取1株，该株的株高增量在(7，10]内”为事件Bi， 由题意可知：P＝，P＝， P＝， 且X的可能取值有0，1，2，3，则有： P＝＝； P＝＋××＋×＝； P＝××＋××＋××＝； P＝××＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)由题意可知Y1，Y2，Y3均服从两点分布，则有： Y1的分布列为： Y1 0 1 P 可得Y1的方差D＝×＝； Y2的分布列为： Y2 0 1 P 可得Y2的方差D＝×＝； Y3的分布列为： Y3 0 1 P 可得Y3的方差D＝×＝； 因为＞＞，所以D＞D＞D. 求离散型随机变量X的分布列及数字特征的步骤 第一步：理解X的意义，写出X的所有可能取值； 第二步：求X取每个值的概率； 第三步：写出X的分布列； 第四步：由均值、方差的定义求E(X)，D(X). 注意：结合题设背景，正确写出X的所有可能的取值，借助于排列、组合、古典概型求出各事件的概率是解决本类问题的关键. 　　 对点练1.(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 3m 下列结论正确的有(　　)A.m＝ B.E＝ C.E＝ D.D＝ 答案：ABD 解析：由分布列的性质得，＋4m＝1，解得m＝，故A正确；E＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确；E＝2E－1＝－，故C不正确；D＝×＋×＋×＝，故D正确.故选ABD. 对点练2.(2025·河南新乡第三次模拟)甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球. (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X，求X的分布列与期望. 解：(1)记这2个球颜色相同为事件A，则P＝×＋×＝. (2)依题意X的可能取值为0，1，2， 则P＝×＋×＋×＝， P＝×＋×＋×＝， P＝×＋×＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以E＝0×＋1×＋2×＝. 考点三　均值与方差中的决策问题　　　　师生共研 [答题规范](17分)(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)假设0＜p＜q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ [思路分析]　(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案. (2)①首先各自计算出P甲＝q3，P乙＝p3，再作差因式分解即可判断.②首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 　　随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 对点练3.(2025·山东菏泽模拟) 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为1，2，3的小球个数比为1∶2∶1，且取到异号球的概率为. (1)求盒中2号球的个数； (2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序(猜对谜语的概率相互独立). 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 100 500 解：(1)由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，2n，n， 则取到异号球的概率P＝＝， 所以＝，即n2＝2n，解得n＝2. 所以盒中2号球的个数为4个. (2)若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语， 因为猜对谜语的概率相互独立，记X为甲获得的奖金总额， 则X可能的取值为0元，100元，600元， P(X＝0)＝0.2， P(X＝100)＝0.8×(1－0.5)＝0.4， P(X＝600)＝0.8×0.5＝0.4. 所以X的分布列为： X 0 100 600 P 0.2 0.4 0.4 所以E＝0×0.2＋100×0.4＋600×0.4＝280. 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立， 记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元， P＝0.5， P＝0.5×＝0.1， P＝0.8×0.5＝0.4. 所以Y的分布列为： Y 0 500 600 P 0.5 0.1 0.4 所以E(Y)＝0×0.5＋500×0.1＋600×0.4＝290， 因为E(Y)＞E(X)，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. [真题再现]　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解：(1)由题易知X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)可知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 假设小明先回答B类问题，其累计得分为Y，则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48. 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 所以E(Y)＞E(X)， 所以小明应选择先回答B类问题. [教材呈现]　(人教A选择性必修三P65例4)根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1　运走设备，搬运费为3 800元； 方案2　建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水； 方案3　不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？ 点评：高考题命题角度与教材例题类似，设问的本质也一样，都主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，都属于决策问题. 学科网（北京）股份有限公司 $