第九章 4 第四节 列联表与独立性检验（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕列联表与独立性检验高考核心考点，按课标要求构建“分类变量-列联表-χ²计算-独立性检验”递进知识体系，通过自主检测夯实基础，分考点开展师生共研，结合真题训练突破χ²公式应用与临界值判断难点，实现复习的系统性与针对性。 资料以高考真题（如2023全国甲卷、2024全国甲卷）为依托，设计“真题再现-教材对比”环节，培养学生用数学眼光分析现实问题（如臭氧环境与体重变化），用数学思维推理关联强度。分层设置对点练与综合应用，助力教师把控节奏，提升学生数据处理与统计推断的应考能力。

第四节　列联表与独立性检验 【课标研读】　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.　2.通过实例，了解2×2列联表、独立性检验及其应用. 1.分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. 如下表为5个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [微提醒]　独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大. 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数 B.事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响 C.χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量 D.在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强 答案：AC 2.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定爱玩网游是否与性别有关，下列最适合的统计方法是(　　) A.均值 B.方差 C.独立性检验 D.回归分析 答案：C 解析：由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.故选C. 3.如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　) y1 y2 合计 x1 a 8 35 x2 11 34 45 合计 b 42 80 A.27，38 B.28，38 C.27，37 D.28，37 答案：A 解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.故选A. 4.(链接人教A选择性必修三P132例3)随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表(单位：人). 生育意愿 城市级别 合计 非一线 一线 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 合计 58 42 100 计算得χ2＝≈9.616. 参照下表： α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以得到的结论是　　　　　　　　　　. 答案：生育意愿与城市级别有关 考点一　列联表与χ2的计算　　　　自主练透 1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a－b－c等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：C 解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9.故选C. 2.(2025·上海模拟)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其2×2列联表为： X Y 总计 y1 y2 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为(　　) A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D.a＝3，b＝2，c＝4，d＝5 答案：D 解析：对于同一样本，｜ad－bc｜ 越小，说明X 与Y 相关性越弱，而｜ad－bc｜ 越大，说明X 与Y 相关性越强，通过计算知，对于A，B，C，都有｜ad－bc｜＝｜10－12｜＝2；对于D，有｜ad－bc｜＝｜15－8｜＝7，显然7＞2.故选D. 3.为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表： 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为(　　) A.1.255 B.38.214 C.0.003 7 D.2.058 答案：A 解析：χ2＝＝≈1.255.故选A. 分类变量的两种统计表示形式 1.2×2 列联表：直接利用2×2 列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱. 2.等高条形图：等高条形图和列联表相比，能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征. 注意：2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别. 　　 考点二　列联表与独立性检验　　　　师生共研 (2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境.一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望； (2)试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 17.3　18.4　20.1　20.4　21.5　23.2　24.6 24.8　25.0　25.4　26.1　26.3　26.4　26.5 26.8　27.0　27.4　27.5　27.6　28.3 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 5.4　6.6　6.8　6.9　7.8　8.2　9.4　10.0 10.4　11.2　14.4　17.3　19.2　20.2　23.6 23.8　24.5　25.1　25.2　26.0 ①求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表. ＜m ≥m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表，依据小概率值α＝0.050的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝. α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 解：(1)依题意， X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (2)①依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝＝23.4. 故列联表为 ＜m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 ②零假设为H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异.由①可得，χ2＝＝6.400＞3.841＝χ0.05. 所以根据小概率值α＝0.050的独立性检验，推断H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 独立性检验的一般步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值； 第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断. 　　 对点练1.(2025·八省适应性测试)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值； (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝， P 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)由列联表知s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150. (2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180(只)， 未服用药物A且患疾病B的动物有80(只)， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为＝， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为P＝. (3)零假设为H0：药物A对预防疾病B无效. 根据列联表的数据，经计算得到χ2＝＝≈6.734＞6.635＝x0.01. 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效. 考点三　独立性检验的综合应用　　　　师生共研 (2024·全国甲卷改编)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 ①根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析“产品的优级品率”是否与“甲、乙两车间”有关； ②根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析“产品的优级品率”是否与“甲、乙两车间”有关； (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 ①零假设为H0：“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”无关， χ2＝＝＝4.687 5＞3.841＝， 所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”有关. ②因为χ2＝＝＝4.687 5＜6.635＝， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0成立，即认为“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”无关. (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.57， 可知＞p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 　　独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出. 　　 对点练2.体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020—2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求.随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学教师为了了解体育 运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1 000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到如表数据： 数学成 绩(分) [30， 50) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150] 人数(人) 25 125 350 300 150 50 运动达标的 人数(人) 10 45 145 200 107 43 约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50％以内(含50％)的为“数学成绩达标”. (1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的65％分位数； (2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“数学成绩达标”是否与“运动达标”相关. 数学成绩 达标人数 数学成绩 不达标人数 合计 运动达 标人数 运动不 达标人数 合计 附：χ2＝(n＝a＋b＋c＋d). α 0.01 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 解：(1)每组的频率依次为0.025，0.125，0.350，0.300，0.150，0.050， 因为0.025＋0.125＋0.350＝0.500＜0.65，0.025＋0.125＋0.350＋0.300＝0.800＞0.65，且＝0.65， 所以高三年级本次月考数学成绩的65％分位数位于[90，110)内，且为[90，110)的中点， 则该中学高三年级本次月考数学成绩的65％分位数为100. (2)该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分＝0.025×40＋0.125×60＋0.350×80＋0.300×100＋0.150×120＋0.050×140＝91.50， 估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分为91.50分. (3)50＋150＋300＝500，列联表如表所示： 数学成绩 达标人数 数学成绩 不达标人数 合计 运动达 标人数 350 200 550 运动不 达标人数 150 300 450 合计 500 500 1 000 零假设为H0：“数学成绩达标”与“运动达标”无关， χ2＝＝≈90.9＞10.828＝x0.001， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关. [真题再现]　(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解： (1)根据表中数据，A公司共有班次260个，准点班次有240个， 设A公司长途客车准点为事件M， 则P(M)＝＝； B公司共有班次240个，准点班次有210个， 设B公司长途客车准点为事件N， 则P(N)＝＝. 所以A公司长途客车准点的概率为； B公司长途客车准点的概率为. (2)由题意，列联表如下表所示： 公司 班次是否准点 总计 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 260 B 210 30 240 总计 450 50 500 零假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关， 经计算得χ2＝≈3.205＞2.706， 所以有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. [教材呈现]　(人教A选择性必修三P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 点评：该高考题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题，且与课本例题命题角度类似. 学科网（北京）股份有限公司 $