第六章 2 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，覆盖定理理解、坐标运算、共线条件等高考核心考点，按“定理-坐标运算-共线应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破基底选择、坐标运算等难点。 资料以“数学思维”“数学语言”为导向，创新采用一题多解与坐标化策略，如向量分解中对比基底法与坐标法培养推理能力，设置基础巩固、能力提升分层练习。结合课标要求链接高考真题与教材例题，确保复习高效，助力学生提升解题速度与准确性，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 【课标研读】　1.理解平面向量基本定理及其意义.　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.　3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.　4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. [微提醒]　(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标运算 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量的加法运算 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 向量的减法运算 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量的数乘运算 λa＝(λx1，λy1) 向量的模 ｜a｜＝ (2)向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，｜｜＝. 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0. [微提醒]　因为x2，y2有可能为0，所以a∥b的充要条件不能表示为＝. 【常用结论】 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知O为原点，P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝＋)可得点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由＝＋＋)可得△ABC的重心G的坐标为. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底 B.设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0 C.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝ D.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 答案：BD 2.下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(2，－3)，e2＝(，－) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) 答案：D 解析：由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底，而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.故选D. 3.(链接人教A必修二P33T5)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A.(2，2) B.(3，－1) C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1) 答案：D 解析：由题意可知＝.若＝，则P点坐标为(2，2)；若＝，则P点坐标为(3，1).故选D. 4.(链接人教A必修二P31例7)(2024·上海卷)已知k∈R，a＝，b＝，且a∥b，则k的值为　　　　. 答案：15 解析：因为a∥b，所以2k＝5×6，解得k＝15. 考点一　平面向量基本定理的应用　　　　师生共研 (1)(一题多解)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ (2)(多选)(2025 ·河南郑州模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝＋ B.＝－＋ C.＝－ D.＝－＋ 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)法一：根据向量的运算法则可得，在△ABE 中，＝＋ .因为E 为AD 的中点，所以＝ ，在△ABD 中，＝＋＝－ .因为D为BC 的中点，所以＝.在△ABC 中，＝－ .逐步代入，可得＝＋＝＋＝－)＋＝－)＋＝＋＝－)＋＝－ .故选A. 法二：由D 为BC 的中点，得＝＋) ，由E 为AD 的中点，得＝＝＋) .在△ABE 中，＝－＝－＋)＝－ .故选A. (2)由AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，由向量加法的三角形法则得＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，则＝＝＋，故A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，故D正确；＝＋＝－＝－＋－＝－－，故C错误.故选ABD. 运算遵法则、基底定分解 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 　　 对点练1.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb C.若＝x＋y，则P，M，A，B共面 D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y 答案：AC 解析：对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得＝x＋y，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确.故选AC. 对点练2.(2025·山西吕梁模拟)已知等边△ABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，若＝3，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案：B 解析：在△ABC中，取为基底，因为点D，E分别为AB，BC的中点，＝3，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋.故选B. 考点二　平面向量的坐标运算　　　　自主练透 1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－(a－2b).因为a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，所以c＝－(a－2b)＝.故选D. 2.(2025 ·河南郑州名校联盟)已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若＝2－3，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由＝2－3得＋＝3－3，即＝3，又＝，所以＝3＝.故选D. 3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C.2 D. 答案：B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则DC＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，因为＝λ＋μ，所以(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，所以解得故λ＋μ＝.故选B. 向量坐标运算问题的一般思路 1.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算. 2.巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用. 　　 考点三　向量共线的坐标表示　　　　多维探究 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为　　　　. (2)(一题多解)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　. 答案：(1)(2，4)　(2)(3，3) 解析：(1)由题意得，＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝，＝，所以(4－x，2－y)＝(2，－2)，即解得故点D的坐标为(2，4). (2)法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝，则＝－＝.又＝－＝，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝.所以＝＝，所以点P的坐标为(3，3). 法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3). 角度2　利用向量共线求参数 (1)向量a＝(1，3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5，7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　) A.2 B. C.3 D. (2)已知向量＝，＝，＝，若A，C，D三点共线，则m＝　　　　. 答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由题意，得a＋b＝(3x，x＋4)，a＋c＝(6，10)，因为(a＋b)∥(a＋c)，所以30x＝6x＋24，解得x＝1，所以b＝(2，2).则c＝ma＋nb＝(m＋2n，3m＋2n)＝(5，7)，即解得故m＋n＝3.故选C. (2)因为＝＋＝，又A，C，D三点共线，所以＝λ且λ∈R，则解得 1.利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 (1)求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. (2)求两直线交点坐标时，可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”的关系，结合共线向量定理求解. 2.利用向量共线的坐标表示求参数的步骤 第一步：根据已知条件求出相关向量的坐标； 第二步：利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组； 第三步：根据方程或方程组求解得到参数的值. 对点练3.(2024·河南开封第三次质量检测)已知向量a＝，a＋b＝，若a∥b，则m＝(　　) A. －3 B. 3 C. － D. 答案：D 解析：由a＝，a＋b＝可得，b＝－a＝，由a∥b可得，－1＝2(m－1)，解得m＝.故选D. 对点练4.在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为　　　　. 答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，C(0，4)，E(1，0)，F(1，2)，设AF与CE交点为D(x，y)，则＝(x，y)，＝(1，2)，且∥，即2x－y＝0①，又＝(x，y－4)，＝(1，－4)，且∥，即y－4＋4x＝0②，由①②得x＝，y＝，故交点D. [真题再现]　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝　　　　. 答案： 解析：因为a∥b ，所以2×4－5λ＝0 ，解得λ＝ . [教材呈现]　(人教A必修二P31例7)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y. 点评：高考题及教材例题都考查两向量共线的坐标表示.涉及相同的知识点，相似度极高. 学科网（北京）股份有限公司 $