第三章 2 教材拓展6 两条曲线的公切线问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦曲线公切线这一导数应用高频考点，系统梳理共切点、不共切点、条数判断三类题型，构建“定义理解-方法提炼-综合应用”的知识体系。通过考点分类讲解、解题策略归纳、真题案例分析和分层对点练习，帮助学生突破切线方程构建、参数关系转化等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料创新采用“问题情境-数学建模-逻辑推理”教学模式，如在不共切点问题中，引导学生设双切点坐标，利用导数几何意义建立斜率与方程等量关系，培养数学思维与数学语言表达能力。设置基础巩固到综合提升的分层训练，配合即时方法反馈，确保学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　两条曲线的公切线问题 1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题. 题型一　共切点的公切线问题 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　 ) A.－3 B.1 C.3 D.5 答案：D 解析：依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.因为f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，所以f'(x)＝2x，g'(x)－4，所以即因为x0＞0，所以x0＝1，m＝5.故选D. 题型二　不共切点的公切线问题 (2025·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝(　　 ) A.－30 B.－25 C.26 D.28 答案：C 解析：设直线x＋y＋m＝0与曲线f(x)＝x3＋nx－52相切于点(a，－a－m)，与曲线g(x)＝x2－3ln x相切于点(b，－b－m)，b＞0.由g(x)＝x2－3ln x知g'(x)＝2x－，又两曲线的公切线斜率为－1，则2b－－1，解得b＝1或b＝－(舍去).所以1－3ln 1＝－1－m，解得m＝－2.由f(x)＝x3＋nx－52知f'(x)＝3x2＋n，又两曲线的公切线斜率为－1，则3a2＋n＝－1，即n＝－3a2－1，故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，故a＝－3，所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.故选C. 题型三　公切线的条数问题 曲线f(x)＝ax2(a＞0)与g(x)＝ln x有两条公切线，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，) B.(0，) C.(，＋∞) D.(，＋∞) 答案：D 解析：设曲线f(x)＝ax2(a＞0)，g(x)＝ln x的切点分别为(x1，a)，(x2，ln x2)，f'(x)＝2ax，g'(x)，由题意得，2ax1，整理得－ln x2(1)，曲线f(x)与g(x)有两条公切线等价于方程(1)有两个异根，设h(x)＝x2－x2ln x，h'(x)＝2x－2xln x－x＝x(1－2ln x) ，h(x)在(0，)上为增函数，(，＋∞)上为减函数，h(x)max＝h()，如图，所以0＜，解得a＞，即实数a的取值范围为(，＋∞).故选D. 1.当y＝f(x)与y＝g(x)切于同一点，设切点为P(x0，y0)，则有从而确定参数的取值范围. 2.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先假设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2). 　　 对点练1.若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则实数a的取值范围为　　　　. 答案： 解析：由y＝ax2(a＞0)得y'＝2ax，由y＝ex得y'＝ex.设公切线与曲线C1切于点(x1，a)，与曲线C2切于点(x2，)，则有y－a2ax1(x－x1)，即y＝2ax1x－a，y－(x－x2)，即yx－(x2－1)，所以可得x2＋1，所以a.因为a＞0，所以x1＞0，记f(x)(x＞0)，则f'(x)，当x∈(0，2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.所以当x＝2时，f(x)min＞0，所以实数a的取值范围是. 对点练2.(2025·山东枣庄模拟)已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a＞0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝　　　　. 答案：1 解析：设l与C1相切于点P(x1，＋x1)，与C2相切于点Q，由C1：y＝ex＋x，得y'＝ex＋1，则与C1相切于点P的切线方程为y－－x1(x－x1)，即y＝x－x1＋，由C2：y＝－x2＋2x＋a，得y'＝－2x＋2，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋－2x2－a＝(－2x2＋2)·(x－x2)，即y＝x＋a＋，因为两切线重合，所以1＋2－2x2①，－x1a＋②，由①得x2，代入②得4(1－x1)4a＋1－2＋，化简得－6＋4x1－1－4a，令f(x)＝e2x－6ex＋4xex，则f'(x)＝2e2x－6ex＋4ex＋4xex＝2e2x－2ex＋4xex＝ex(2ex＋4x－2)，令g(x)＝2ex＋4x－2，则g(x)在定义域内单调递增，且g(0)＝0，所以当x＜0时，g(x)＜0，f'(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，f'(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→0，f(0)＝－5，x→＋∞时，f(x)→＋∞，又－1－4a＜－1，结合函数图象(图略)可知，要使f(x)＝－1－4a有一解，则－1－4a＝－5，a＝1. 对点练3.已知曲线C1：y＝f(x)＝ln x，曲线C2：y＝g(x)＝1－，求证：C1与C2相切，并求其公切线的方程. 证明：由得xln x－x＋1＝0. 令φ(x)＝xln x－x＋1(x＞0)，则φ'(x)＝ln x. 当x∈(0，1)时，φ'(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，φ'(x)＞0，所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故φ(x)min＝φ(1)＝0， 即函数φ(x)＝xln x－x＋1有且仅有一个零点1， 即方程xln x－x＋1＝0仅有唯一根x＝1， 故方程组仅有一组解 又f'(x)，f'(1)＝1， g'(x)，g'(1)＝1， 所以f'(1)＝g'(1)＝1， 所以C1与C2相切于点(1，0)， 所以其公切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $