第二章 10 第七节 指数函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕指数函数核心考点，涵盖概念、图象性质及综合应用，按“基础梳理—性质探究—综合应用”逻辑架构知识体系。通过课标研读明确要求，结合自主检测、考点分阶讲解及真题训练，帮助学生系统突破重点难点。 讲义突出素养导向与分层教学，如考点一通过函数图象平移翻折分析，培养学生几何直观的数学眼光；考点二利用单调性比较大小，发展逻辑推理的数学思维。设置分层练习配合真题再现，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供指引。

第七节　指数函数 【课标研读】　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a＞1和0＜a＜1两种情况. 【常用结论】 指数函数图象的特点 (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，(－1，)，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)函数y＝ax与y＝()x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大. (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. 【自主检测】 1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A.不确定 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.故选C. 2.(链接人教A必修一P114例1)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　 ) A.1 B.2 C. D.3 答案：C 解析：依题意可知a2，解得a，所以f(x)，所以f(－1).故选C. 3.(链接人教A必修一P119T6)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　 ) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案：C 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C. 4.函数y－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点　　　　. 答案：(1，0) 解析：在函数y－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y－1的图象恒过点(1，0). 考点一　指数函数的图象及应用 　　　　师生共研 (1)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(一题多变)若函数y＝｜3x－1｜在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为　　　　. 答案：(1)A　(2)(－∞，0] 解析：(1)因为0＜a＜1，所以y＝ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近.又b＜－1，所以y＝ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y＝ax＋b的图象，故y＝ax＋b的图象不过第一象限.故选A. (2)函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围为(－∞，0]. [变式探究] 1.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝｜3x－1｜的图象与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(0，1) 解析：曲线y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个交点，则m的取值范围是(0，1). 2.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝｜3x－1｜＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，－1] 解析：作出函数y＝｜3x－1｜＋m的图象如图所示.由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]. 指数函数的图象及其应用策略 1.已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. 2.进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. 3.根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断. 　　 对点练1.(多选)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列关系式可能成立的是(　　) A.0＜b＜a B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.a＝b 答案：ABD 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD. 对点练2.若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是　　　　. 答案：[－1，1] 解析：作出曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b，如图所示，由图象可得，要想曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b应满足的条件是b∈[－1，1]. 考点二　指数函数的性质及应用　　　　多维探究 角度1　比较指数式的大小 (1)若a＝1.50.8，b＝1.50.7，c＝0.90.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞a＞c B.a＞b＞c C.c＞b＞a D.a＞c＞b (2)若ea＋πb≥e－b＋，下列结论一定成立的是(　　) A.a＋b≤0 B.a－b≥0 C.a－b≤0 D.a＋b≥0 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)由y＝1.5x在R上单调递增，则a＝1.50.8＞1.50.7＝b，由y＝x0.7在[0，＋∞)上单调递增，则b＝1.50.7＞0.90.7＝c，所以a＞b＞c，故选B. (2)因为ea＋πb≥＋，所以ea－≥－πb①，令f(x)＝ex－，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若≤，则函数y＝2x的值域是(　　 ) A. B. C. D.[2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为.故选B. (2)当a＜1时，41－a＝21，解得a；当a＞1时，代入不成立.故a的值为. 1.比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小. (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 2.指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据： ①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)； ②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解. 　　 对点练3.(多选)下列各式正确的是(　　) A.1.72.5＞1.73 B.( C.1.70.3＞0.93.1 D.(＜( 答案：BCD 解析：因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A不正确；(，y＝2x为增函数，所以，故B正确；因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y为减函数，所以(＜(.又y在(0，＋∞)上单调递增，所以(＜(，所以(＜(＜(，故D正确.故选BCD. 对点练4.设函数f(x)若f(a)＜1，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－3，1) 解析：当a＜0时，原不等式化为－7＜1，则＜8，解得a＞－3，所以－3＜a＜0.当a≥0时，则＜1，解得a＜1，所以0≤a＜1.综上，实数a的取值范围是(－3，1). 考点三　指数型函数的综合应用　　　　师生共研 (一题多问)设a∈R，函数f(x). (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； (2)若f(x)关于点(0，2)中心对称，求a的值； (3)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围； (4)在(1)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：(1)由f为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)(x≠0)，f(－x)－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数. (2)由f关于点(0，2)中心对称， 得f(x)＋f(－x)＝4， 所以＋4，即4，解得a＝－3. (3)由f(2)＝a，可得a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＞2⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2，所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2). (4)由(1)知：f(x)1＋是减函数， 因为f是奇函数，且f＋f＜0， 所以f＜－ff，所以t2－2t＞k－t2恒成立， 即k＜，又2t2－2t＝2－≥－，所以k＜－. 所以实数k的取值范围为(－∞，－). 　　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 　　 对点练5.函数f(x)的单调递增区间为(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：由－x2＋x＋1≥0得≤x≤，所以f(x)的定义域为.因为y＝－x2＋x＋1在上单调递增，在上单调递减，所以t在上单调递增，在上单调递减，又y在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间为.故选C. 对点练6.已知函数f(x)＝4x－2x＋1＋4，x∈[－1，1]，则函数y＝f(x)的值域为(　　 ) A.[3，＋∞) B.[3，4] C. D. 答案：B 解析：f(x)＝(2x)2－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t，则t＝2x在[－1，1]上单调递增，即≤t≤2，所以y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，当t＝1时，ymin＝3，此时x＝0，f(x)min＝3；当t＝2时，ymax＝4，此时x＝1，f(x)max＝4，所以函数y＝f(x)的值域为[3，4].故选B. [真题再现]　(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 答案：D 解析：法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上b＞a＞c.故选D. 法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5，所以1.010.6＞1.010.5，即b＞a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01＞0.6＞0，所以1.010.5＞0.60.5，即a＞c.综上b＞a＞c.故选D. [教材呈现]　(人教A必修一P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8，30.7；(2)0.75－0.1，0.750.1；(3)1.012.7，1.013.5；(4)0.993.3，0.994.5. 点评：教材习题体现了比较大小的两种常用方法：(1)利用函数的单调性；(2)借助于0或1作为中间数，而该高考试题考查的也正是这两种方法. 学科网（北京）股份有限公司 $