第二章 9 第六节 指数与对数的运算（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦指数与对数运算高考核心考点，依据“概念-性质-运算-应用”逻辑架构整合课标要求、知识梳理与常用结论。通过自主检测诊断学情，分考点突破（指数幂运算自主练透、对数运算多维探究、实际应用师生共研），结合真题再现与教材链接，帮助学生构建知识网络，突破运算技巧与实际应用难点。 讲义采用“问题驱动-方法提炼-素养落地”模式，如对数运算通过“拆项化简-合项转化”训练培养数学思维，实际应用结合生物、物理情境引导用数学眼光观察现实世界。设置分层练习配合即时反馈，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供清晰路径。

第六节　指数与对数的运算 【课标研读】　1.通过对有理数指数幂(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 1.根式与有理数指数幂 (1)根式 (2)有理数指数幂 概 念 正分数指数幂： a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运 算 性 质 aras a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2.对数 概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN 负数和0没有对数 1的对数是0：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1 对数恒等式：N 运算 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 logalogaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) 【常用结论】 (1)换底公式的变形 ①logab·logba＝1，即logab(a，b均大于0且不等于1)； ②lobnab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (2)换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0). 【自主检测】 1.(多选)下列等式成立的是(　　) A.(－2 B.2 C.(－2)0＝－1 D.()4 答案：AD 解析：对于A，(－2，故A正确；对于B，2a－3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，()4，故D正确.故选AD. 2.(链接人教A必修一P106例3)化简 (x＜0，y＜0)＝(　　) A.2x2y B.－2x2y C.2xy2 D.－2xy2 答案：B 解析：因为x＜0，y＜0，所以(16x8·y4(16·(x8·(y42x2｜y｜＝－2x2y.故选B. 3.(链接人教A必修一P126练习T3)log23·log34·log42＝　　　　. 答案：1 解析：log23·log34·log42＝log22＝1. 4.计算：(1)lg ＋lg 　　　　； (2)log345－log35＝　　　　； (3)(＋(2－(－1)0＝　　　　. 答案：(1)　 (2)2　(3)49 解析：(1)lg＋lglg(×)＝lglg 1. (2)log345－log35＝log3 log39＝log332＝2. (3)()－2＋(2－(－1)0＝72＋(－1＝49＋－1＝49. 考点一　指数幂的运算 　　　　自主练透 1.化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2－(0.01)0.5； (2)÷((a＞0，b＞0)； (3)(×(－)0＋×－. 解：(1)原式＝1＋×(－(1＋×－1＋－. (2)原式÷(÷( ÷(÷(ab) . (3)原式＝(×1＋×－(2. 2.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，求f(2a)的值. 解：由f(a)＝3得2a＋3， 所以(2a＋2－a)2＝9， 即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7， 故f(2a)＝22a＋2－2a＝7. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. 2.当底数是负数时，先确定运算结果的符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 　　 考点二　对数的运算　　　　　多维探究 角度1　对数式的化简与计算 计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； (2)； (3)log23·log38＋(. 解：(1)法一：log225·log3(2)·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二：log225·log3(2)·log59····6. (2)原式1. (3)原式·＋3＋3＋2＝5. 角度2　指数式与对数式的综合运算 (1)已知logam，loga3＝n，则(　　) A.3 B. C.9 D. (2)设2a＝5b＝m，且＋2，则m＝(　　) A. B.10 C.20 D.100 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为logam，loga3＝n，所以am，an＝3.所以am·am·(an)2×32.故选D. (2)因为2a＝5b＝m，所以log2m＝a，log5m＝b，所以＋＋logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m(舍m＝－).故选A. 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 　　 对点练1.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　. 答案：e 解析：由ff8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即23，因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 对点练2.计算：(1)log535＋2lo－log5－log514； (2)(＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：(1)原式＝log535－log5－log514＋lo)2＝log5＋lo2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. (2)原式＝(＋3－2－2log32·log23＋3－－2＝3. 考点三　指数与对数运算的实际应用　　　　师生共研 (1)(2024·北京卷)生物丰富度指数 d是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C. D. (2)(多选)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期约是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.t＝12.43log2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16 答案：(1)D　(2)CD 解析：(1)由题意得2.1，3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以.故选D. (2)由题意得N＝N0·，故有，左右同时取对数得log2－，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·2－2·N0N0，故B错误；而当t＝62.15时，N＝N0·2－5·N0N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·，化简得x＝－12.43log2－12.43log2－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43(1－)＝－12.43(1－)，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44＞16，故D正确.故选CD. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 　　 对点练3.(2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M＝M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516)(　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 答案：D 解析：由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0＝M0·，则H＝50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·M0·M0·≈M0×≈0.66M0.故选D. 对点练4.(多选)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E＝4.8＋1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是(　　) A.E1约为E2的10倍 B.E3超过E2的100倍 C.E3超过E1的10倍 D.E3低于E1的10倍 答案：BD 解析：对于A，lg E1－lg E2＝1.5×，所以101.8，故A错误；对于B，lg E3－lg E2＝1.5×，102.7＞100，故B正确；对于C，lg E3－lg E1＝1.5×，100.9＜10，故C错误，D正确.故选BD. 1.[真题再现]　(2024·全国甲卷)已知a＞1，且－－，则a＝　　　　. 答案：64 解析：由题－－2a＝－，整理得－5log2a－6＝0，⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. [教材呈现]　(人教A必修一P127T5)已知lg 2＝a，lg 3＝b，求下列各式的值： (1)lg 6；(2)log34；(3)log212；(4)lg . 点评：高考题与教材习题均考查对数的运算性质及换底公式. 2.[真题再现]　(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案：C 解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1≈≈0.8.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 　　2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 点评：高考题与教材例题都是以实际问题为背景考查对数的基本运算. 学科网（北京）股份有限公司 $