第二章 8 第五节 幂函数与几类常见的特殊函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦幂函数及一次分式函数、对勾函数等特殊函数高考核心考点，按定义、图象、性质逻辑层次梳理知识，通过课标研读明确要求，结合自主检测、考点分层探究及真题链接环节，帮助学生构建知识网络，突破性质应用难点。 资料以“性质探究-变式迁移-真题回扣”模式展开，如对勾函数单调性证明培养数学思维，一次分式函数对称中心应用训练数学眼光，设置分层练习确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控节奏提供指引。

第五节　幂函数与几类常见的特殊函数 【课标研读】　1.通过具体实例，结合y＝x，y，y＝x2，y，y＝x3的图象，理解它们的变化规律， 了解幂函数.　2.了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、新定义函数(高斯函数、狄利克雷函数)的图象与性质. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增　 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.一次分式函数 (1)定义：我们把形如y(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域：；值域； ②对称中心：； ③渐近线方程：x＝－和y； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减； 当ad＜bc时，函数在区间和(－，＋∞)上分别单调递增. 3.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 {x｜x≠0} {x｜x≠0} 单调性 单增区间：(－∞，－)，(，＋∞)； 单减区间：(－，0)，(0， ) 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 说明 关注人A必修一P92：探究函数y＝x＋的图象与性质 关注人A必修一P101 T12：试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象 4.高斯函数、狄利克雷函数 高斯函数 狄利克雷函数 解析式 y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) D(x) 图象 无法画出函数的图象，但其图象客观存在 定义域 R R 值域 Z {0，1} 性质 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 奇偶性：偶函数； 周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期 说明 关注人A必修一P74 T13：函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，3]时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图象 【常用结论】 (1)①幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质. ②幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. (2)对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的有(　　) A.函数y＝2是幂函数 B.当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C.当n是偶数时，幂函数y(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数 D.函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞) 答案：BC 2.(链接人教A必修一P91练习T1)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　 ) 答案：C 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α，所以y，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确.故选C. 3.(链接人教A必修一P91练习T2)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＞b＞c D.b＜c＜a 答案：B 解析：由a，b，c，得a，b，c.因为幂函数y在区间(0，＋∞)上单调递增，且，所以，即c＜a＜b.故选B. 4.函数f(x)的图象的对称中心为　　　　. 答案：(－2，1) 解析：f(x)1－，故其图象的对称中心为点(－2，1). 考点一　幂函数的图象和性质　　　　自主练透 1.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 答案：B 解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n；当n＜0时，｜n｜越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2.故选B. 2.“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，当n＝1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增.所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.故选C. 3.如图所示是函数y(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　 ) A.m，n是奇数，且＜1 B.m是偶数，n是奇数，且＜1 C.m是偶数，n是奇数，且＞1 D.m，n是奇数，且＞1 答案：B 解析：由幂函数性质可知，y与y＝x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)，当0＜x＜1时，＞x，则＜1；又y的图象关于y轴对称，所以y为偶函数，所以(－x，又m，n互质，所以m为偶数，n为奇数.故选B. 4.1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是(　　) A.23.1＜2－3.1＜1.5－3.1 B.1.5－3.1＜23.1＜2－3.1 C.1.5－3.1＜2－3.1＜23.1 D.2－3.1＜1.5－3.1＜23.1 答案：D 解析：1.5－3.1＝()3.1，2－3.1＝()3.1.易知幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上单调递增，且＜2，所以()3.1＜()3.1＜23.1，即2－3.1＜1.5－3.1＜23.1.故选D. 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 　　 考点二　一次分式函数　　　　师生共研 (一题多变)已知函数f(x)，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)a＋， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a＝3. (2)由f(x)知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线， 由一次分式函数的性质知， 当且仅当2－2a＞0， 即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故实数a的取值范围是(－∞，1). [变式探究] 1.(变设问)已知条件(1)不变，则函数g(x)＝f(sin x＋1)的值域为　　　　. 答案：［－1，］ 解析：当a＝3时，f(x)3－，所以g(x)＝f(sin x＋1)＝3－，由于－1≤sin x≤1，所以1≤sin x＋2≤3，≤≤1，于是－4≤≤－，所以－1≤3－≤，所以函数g(x)的值域为［－1，］. 2.(变设问)已知条件(1)不变，则函数f(2 025)＋f(2 026)＋f(－2 027)＋f(－2 028)＝　　　　. 答案：12 解析：由于f(x)＝3－，所以函数f(x)关于(－1，3)对称，所以f(x)＋f(－2－x)＝6，于是f(2 025)＋f(－2 027)＝6，f(2 026)＋f(－2 028)＝6，所以f(2 025)＋f(2 026)＋f(－2 027)＋f(－2 028)＝12. 一次分式函数的应用技巧 1.一次分式函数的图象是中心对称的双曲线，所以要善于利用其对称性、渐近线等性质解决问题. 2.熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧. 　　 对点练1.已知函数f(x)的定义域是{x｜x∈R，x≠－3}. (1)求函数f(x)的值域； (2)若f(x)在(－∞，b)上单调递增，求实数b的取值范围. 解：依题意知，函数f(x)的定义域为{x｜x∈R，x≠－3}，所以a＝3. (1)因为f(x)2＋，由于≠0，所以2＋≠2，因此函数的值域为{y｜y∈R，y≠2}. (2)因为f(x)＝2＋，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞). 又因为f(x)在区间(－∞，b)上单调递增，所以b≤－3，即b的取值范围为(－∞，－3]. 考点三　几类常见的特殊函数　　　　多维探究 角度1　对勾函数、飘带函数 因为函数y＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“y＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”. (1)证明对勾函数具有性质：在(0， )上单调递减，在(，＋∞)上单调递增； (2)已知f(x)＝2x＋－5，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)＝x2－mx＋4，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g(x2)＜f(x1)成立，求实数m的取值范围. 解：(1)证明：设x1，x2是任意两个实数，且f(x)＝x＋，任取0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－， 若x1，x2∈(0， ]，则x1－x2＜0，0＜x1x2＜t， 即x1x2－t＜0， 所以＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以y＝x＋(t＞0)在(0，]上单调递减； 若x1，x2∈(，＋∞)，则x1－x2＜0，x1x2＞t，即x1x2－t＞0， 所以＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以y＝x＋(t＞0)在(，＋∞)上单调递增. 所以对勾函数具有性质：在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. (2)f(x)＝2x－1＋－4， 令2x－1＝m，因为1≤x≤3，所以1≤m≤5， 则f(x)＝h(m)＝m＋－4，m∈[1，5]， 由对勾函数的性质，可得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增， 所以f(x)在［1，］上单调递减，在( ，3］上单调递增，f(1)＝1，f()＝0，f(3). 综上可得，f(x)的单调递减区间为［1，］，单调递增区间为(，3］，值域为［0，］. (3)由(2)知f(x1)∈［0，］时，若存在x2∈[1，3]，使得g(x2)＜f(x1)成立， 只需g(x)＝x2－mx＋4＜0在x∈[1，3]上有解即可，即m＞(x＋)min， 令u(x)＝x＋，x∈[1，3]，由(2)知u(x)在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以u(x)的最小值为u(2)＝4， 所以m＞4，即实数m的取值范围为(4，＋∞). 角度2　高斯函数、狄利克雷函数 (1)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则下列说法正确的是(　　 ) A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增 B.若函数f(x)，则y＝[f(x)]的值域为{0} C.若函数f(x)＝｜－｜，则y＝[f(x)]的值域为{0，1} D.x∈R，x≥[x]＋1 (2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　 ) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B.f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 答案：(1)AC　(2)BD 解析：(1)对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单调递增，故A正确；对于B，f－∈(－1，0)，则－1，故B不正确；对于C，f(x)，当0≤｜cos 2x｜≤时，1≤2－2｜cos 2x｜≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]＝1，当＜｜cos 2x｜≤1时，0≤2－2｜cos 2x｜＜1，0≤f(x)＜1，有[f(x)]＝0，所以y＝[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2＜[2]＋1，故D不正确.故选AC. (2)对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，故B正确；对于C，f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，故D正确.故选BD. 1.解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质. 2.高斯函数、狄利克雷函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合. 　　 对点练2.函数f(x)＝｜x｜－(x∈R)的图象不可能是(　　 ) 答案：C 解析：当m＝0时，f(x)＝｜x｜(x≠0)，选项A有可能；当m＝1时，f(x)易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能；当m＝－1时，f(x)易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 对点练3.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　 ) A. B.{－1，0，1} C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2} 答案：B 解析：f(x)－3×2x＋4(0＜x＜2)，令t＝2x，t∈(1，4)，可得g(t)t2－3t＋4(t－3)2－(1＜t＜4)，g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－，又因为g(1)，g(4)＝0，所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为，当f(x)∈时，[f(x)]＝－1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0；f(x)∈时，[f(x)]＝1.所以y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}.故选B. 对点练4.已知狄利克雷函数D(x)则下列结论正确的是(　　 ) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 答案：A 解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，故C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，故D不正确.故选A. 　[真题再现]　(2021·全国乙卷)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f－1 B.f＋1 C.f－1 D.f＋1 答案：B 解析：由题意可得f(x)－1＋.对于A，f－1－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1是奇函数；对于C，f－1－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f＋1，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. [教材呈现]　(人教A必修一P100T2) 已知函数f(x)，求： (1)f(a)＋1(a≠－1)； (2)f(a＋1)(a≠－2). 点评：本题与教材习题函数关系式完全一致，都可以求出对应函数的关系式，考查考点、解法完全相同，是高考试题源于课本的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $