第二章 6 培优课1 函数性质的综合应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数性质综合应用这一高考核心热点，系统整合奇偶性、单调性、周期性与对称性的交叉考点，按性质组合逻辑分设四个题型模块。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题通法，真题训练（含模拟题与质量监测题）强化应用，助力学生突破综合题难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用题型化分层教学策略，每个题型配套典例解析、技巧总结与对点练，如构造辅助函数转化抽象不等式培养数学思维，利用对称性推导周期公式发展数学眼光。分层练习覆盖基础与提升，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

培优课1　函数性质的综合应用 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查. 题型一　函数的奇偶性与单调性 (2025·四川自贡模拟)已知函数f(x)＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)＞6，则实数a的取值范围为(　　) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：令g(x)＋3x，则有g(x)＝f(x)－3，因为x∈R，g(x)＋g(－x)＋3x＋－3x＋0，所以g(x)为奇函数，又因为g(x)＝1－＋3x，由复合函数的单调性知g(x)为R上的增函数，因为f(a2)＋f(3a－4)＞6，则f(a2)－3＋f(3a－4)－3＞0，所以g(a2)＋g(3a－4)＞0，g(a2)＞－g(3a－4)＝g(4－3a)，所以a2＞4－3a，解得a＜－4或a＞1，故a∈(－∞，－4)∪(1，＋∞).故选D. 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1.比较函数值的大小问题：可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. 2.抽象函数不等式的求解：应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解. 　　 对点练1.函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)＞0的解集为(　　 ) A.(－∞，0)∪ B. C. D.(－∞，0)∪ 答案：D 解析：因为函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，则该函数在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝f(－2)＝0，由f(2－3x)＞0可得f(｜3x－2｜)＞f(2)，所以｜3x－2｜＞2，可得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞.因此，不等式f(2－3x)＞0的解集为(－∞，0)∪.故选D. 题型二　函数的奇偶性与周期性 (2024·沈阳质量监测(三))已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)是奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则f(7)等于(　　) A.－1 B.－ C. D.1 答案：A 解析：因为f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(x－1)＝f(－x－1)， 所以f(x)＝f(－x－2)，又f(x－2)是奇函数，所以f(－x－2)＝－f(x－2)，即f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又当x∈时，f(x)＝2x－1，所以f(1)＝21－1＝1，则f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(7)＝f(－1)＝－1.故选A. 综合应用函数奇偶性与周期性解题的步骤 第一步：根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期； 第二步：利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； 第三步：代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 　　 对点练2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，f(0)＝－2，且f(x－)为奇函数，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 D.f(2 025)＝－2 答案：BCD 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，变形可得f(x)＝－f(x－)，而f(x－)为奇函数，则f(－x－)＝－f(x－)，则f(－x)＝－f(x－)，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x＋)，即f(x)＝－f(x＋)，则有f(x＋3)＝－f(x＋)＝f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；因为f(x)周期为3，则f(2 025)＝f(0)＝－2，故D正确.故选BCD. 题型三　函数的奇偶性与对称性 已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A.y＝(x－1)f(x－1) B.y＝(x＋1)f(x＋1) C.y＝xf(x)＋1 D.y＝xf(x)－1 答案：B 解析：构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点.对于A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)；对于B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)；对于C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)；对于D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1).故选B. 1.由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 2.注意如下表达式的区别： (1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于x＝－a对称). (2)若f为偶函数，则函数f的图象关于直线x＝b对称；若f为奇函数，则函数f的图象关于点(b，0)对称. 　　 对点练3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)的值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案：C 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝0.故选C. 题型四　函数的周期性与对称性 (多选)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝f(2) B.f(x)的最小正周期T＝2 C.f(x)在(1，2]上单调递减 D.f(2 024)＞f(2 025)＞f(2 026) 答案：AC 解析：由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，故A正确； 由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又图象关于点(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误；因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确；根据f(x)的周期为4，可得f(2 024)＝f(0)，f(2 025)＝f(1)，f(2 026)＝f(2)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，即f(2 024)＝f(2 026)，故D错误.故选AC. 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 　　 对点练4.(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[－6，－3]上单调递减 C.f(x)关于x＝3对称 D.f(100)＝9 答案：ACD 解析：f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $