第二章 5 第四节 函数的对称性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖奇偶函数对称、函数图象自身对称、两函数对称及对称与周期关系，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识，通过课标研读、考点梳理、方法总结、真题训练等环节，帮助学生系统突破难点。 资料以数学眼光观察对称本质，用数学思维推理性质（如双对称求周期），设计“考点师生共研+分层对点练”活动，如轴对称问题通过例题总结对称公式应用，真题再现链接高考题，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第四节　函数的对称性 【课标研读】　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题. 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称. (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 2.函数图象的对称性 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)或f(－x)＝－f(2a＋x)或f(a＋x)＝－f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 3.两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称. (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称. (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. 【常用结论】 函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D.若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案：AD 2.函数f(x)图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 答案：B 解析：因为f(x)1＋，由y向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. 3.(链接人教A必修一P85T1)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为　　　　. 答案：[－5，－2)∪(2，5] 解析：由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，所以当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]. 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　. 答案：5 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 考点一　轴对称问题 　　　　师生共研 (1)已知函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，求ab的值. (2) (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称， 所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)， 即解得 所以ab＝120. (2)假设存在a，b， 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称. 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋) ＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln (2b－x＋a)ln (x－2b－a)ln ， 于是得 当a，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln (－x－)ln (x＋)ln (x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a，b＝－. 轴对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x成轴对称. 　　 对点练1.已知函数f(x)＝32－x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.2a 答案：C 解析：因为f3x＋32－x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C. 对点练2.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为　　　　. 答案：(－1，1) 解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)，所以－x2＞－1，即x2＜1，所以－1＜x＜1，所以原不等式的解集为(－1，1). 考点二　中心对称问题　　　　师生共研 (1)(2024·新疆乌鲁木齐二模)若函数f的图象关于点对称，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为　　　　. 答案：(1)D　(2)6 解析：(1)f(x)a＋关于(1，2)对称，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝4，即a＋＋a＋2a＝4，则a＝2.故选D. (2)因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 中心对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点(，)，也就是关于点(，)对称. 　　 对点练3.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2的图象(　　) A.关于点(2，2)对称 B.关于点(2，－2)对称 C.关于点(－2，2)对称 D.关于点(－2，－2)对称 答案：A 解析：因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2的图象关于点(2，2)对称.故选A. 对点练4.已知函数fx3－3x2，则f(　　) A.－8 098 B.－8 096 C.0 D.8 100 答案：A 解析：fx3－3x2－3x＋1－3－2，所以f＋f(1－x)＝x3－3x－2－x3＋3x－2＝－4，即f关于(1，－2)中心对称，所以f[f＋f]＋[f＋f]＋…＋＋f2 024×＋f－8 098.故选A. 考点三　两个函数图象的对称　　　　师生共研 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 答案：A 解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 　　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x. 　　 对点练5.下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是(　　) A.g(x)＝－2x＋cos x B.g(x)－cos(－x) C.g(x)＝－＋cos(－x) D.g(x)＝－－cos(－x) 答案：C 解析：令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[－cos(－x)]＝－2－x＋cos(－x).故选C. 对点练6.下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x) C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x) 答案：D 解析：设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D. [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 证明：fln ＋ax＋b的图象是由函数gln ＋ax＋bx3＋a向右平移1个单位得到，而函数gln ＋ax＋bx3＋a关于中心对称，所以y＝f图象为中心对称图形，且对称中心为. [教材呈现]　(人教A必修一P87T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，推出f－a＝ln ＋ax＋bx3为奇函数即可.如果利用结论f(2－x)＋f(x)＝2a解答该题更简单. 学科网（北京）股份有限公司 $