第二章 4 第三节 函数的奇偶性、周期性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性与周期性核心考点，依据课标要求构建“定义-图象-几何意义-常用结论”知识网络，通过自主检测诊断学情，考点分层探究（判断、求参、解不等式等），结合真题训练强化高考对接，系统突破难点。 讲义创新采用“定义辨析-等价转化-图象直观”教学法，培养数学思维与抽象能力，如奇偶性判断强调定义域优先原则，周期性结论通过递推关系推导。设置分层练习与真题精讲，帮助学生快速构建解题模型，为教师把控复习节奏提供精准指导，高效提升应考能力。

第三节　函数的奇偶性、周期性 【课标研读】　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　3.结合三角函数了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特点 关于y轴对称 关于原点对称 等价 形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔－1(f(x)≠0) 2.函数的周期性 【常用结论】 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0； 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). ②单调性与奇偶性的关系.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，即奇增增或奇减减；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，即偶增减或偶减增. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. ④若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a). (2)函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). ②若f(x＋a)，则T＝2a(a＞0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). (3)常见奇、偶函数的类型 ①f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(x)(a＞0且a≠1)为奇函数. ②f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)为偶函数；f(x)＝loga，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数. ③f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D.若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期 答案：ABC 2.若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A.单调递增，且有最小值f(1) B.单调递增，且有最大值f(1) C.单调递减，且有最小值f(2) D.单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 解析：偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).故A正确. 3.(多选)(链接人教A必修一P84例6)下列函数中为偶函数的是(　　) A.f(x)＝x＋ B.f(x) C.f(x)＝｜ln x｜ D.f(x)＝2｜x｜ 答案：BD 解析：对于A，f(－x)＝－x－－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)f(x)，为偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x｜x＞0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数；对于D，f(－x)＝2｜－x｜＝2｜x｜＝f(x)，为偶函数.故选BD. 4.(链接人教A必修一P214T15)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　. 答案：0 解析：由题意知f(0)＝0，f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 024)＝f(675×3－1)＝f(－1)＝1，f(2 025)＝f(675×3)＝f(0)＝0，f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝－1，所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝1＋0－1＝0. 考点一　函数奇偶性的判断　　　　自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x) B.f(x) C.f(x) D.f(x) 答案：B 解析：对于A，f，函数定义域为R，但f，f，则f≠f，故A错误；对于B，f，函数定义域为R，且ff，则f为偶函数，故B正确；对于C，f，函数定义域为，不关于原点对称，则f不是偶函数，故C错误；对于D，f，函数定义域为R，因为f，f，则f≠f，则f不是偶函数，故D错误.故选B. 2.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x) D.f(x)＝ln ｜1＋x｜ 答案：AC 解析：对于A，函数的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC. 3.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)； (3)f(x)＋； (4)f(x) 解：(1)原函数的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－－－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. (2)由得－2＜x＜2，即函数f(x)的定义域是{x｜－2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f(x)lg， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)法一(定义法)：当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 法二(图象法)：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 　　 考点二　函数奇偶性的应用　　　　多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数 (1)(一题多解)(2025·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数fln＋ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A.－ B.0 C. D.1 (2)(2024·河南开封第二次质量检测)若函数f(x)是奇函数，则实数a＝(　　) A.0 B.－1 C.1 D.±1 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)法一(赋值)：因为函数fln(ex＋1)＋ax为偶函数，所以ff(1)，所以ln(e－1＋1)＋(－1)a＝ln＋a，所以2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)，解得a＝－.故选A. 法二(通法)：fln＋ax的定义域为R，fln－ax＝ln－ax＝ln(ex＋1)－x－ax，由于fln＋ax为偶函数，故ff，即ln－x＝ln＋ax⇒x＝0，故1＋2a＝0，解得a＝－.故选A. 法三(利用已知函数奇偶性的结论)：由fln(ex＋1)＋ax得，fln＋ln eax＝ln[eax]＝ln，已知函数y＝ex＋e－x是偶函数，所以(a＋1)＋a＝0，解得a＝－.故选A. (2)当x＞0时，－x＜0，则fa2－1＝－x－a＝－f，则解得a＝1，此时f当x＜0时，－x＞0，所以f－x＋1＝－－f，符合题意.所以a＝1.故选C. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝　　　　　　. 答案：(1)C　 (2)－ex＋2x＋1 解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即(M－1)＋(m－1)＝0，所以M＋m＝2.故选C. (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x＞0时，－x＜0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　　) A.[－2，2] B.[－1，3] C.[0，2] D.[1，3] (2)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)＜0的x的取值范围为(　　 ) A.(－∞，－1)∪(2，5) B.(－∞，－1)∪(0，5) C.(－1，0)∪(2，5) D.(－1，0)∪(5，＋∞) 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3，所以x的取值范围是[－1，3].故选B. (2)因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)＜0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0，所以由xf(x－2)＜0，可得或解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈(－1，0)∪(2，5).故选C. 函数奇偶性的应用类型及解题策略 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值：求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.尤其对于“奇函数f＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.比较大小：利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.利用奇偶性解不等式的步骤：转化、定性、去f、求解，即先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).当涉及f是偶函数时，常用f(x)＝f()，将问题转化到区间上求解. 　　 对点练1.(一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)若fln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案：B 解析：法一：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln (－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，fxln ，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域为，或，关于原点对称.fln ln ln xln f，故此时f为偶函数.故选B. 法二：因为y＝ln 是奇函数，又f为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 对点练2.(多选)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，则下列结论正确的是(　　) A.｜f(x)｜≥2 B.当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3 C.x＝1是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)在(－∞，－1)上单调递增 答案：ABD 解析： 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3， 所以f(x)＝作出f(x)的图象如图所示.由图可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以｜f(x)｜≥2，故A正确；当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知x＝1不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确.故选ABD. 对点练3.已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是　　　　. 答案：［0，) 解析：因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，｜2a｜＜｜4a－1｜，所以0≤a＜，所以a的取值范围是［0，). 考点三　函数的周期性　　　　师生共研 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝　　　　. (2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2 024)＝　　　　. (3)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　　. 答案：(1)　(2)0　(3)f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析：(1)因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)，所以f(x＋4)f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1). (2)因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期.因此f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，则f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2 024)＝0. (3)根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 　　 对点练4.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A.f(2 027)＝0 B.f(x)的值域为[－1，2] C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点 答案：AB 解析：f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，故A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，故B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，故C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，故D错误.故选AB. 对点练5.设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)其中m∈R.若ff，则m＝　　　　. 答案：1 解析：因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)所以ff＋2×＋m＝－＋m，f，所以－＋m⇒m＝1. [真题再现]　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)是偶函数，则a＝(　　 ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝　　　　. 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为f(x)为偶函数，则f(x)－f(－x)－0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. (2)因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意. [教材呈现]　(人教A必修一P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R)， (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 点评：高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法. 学科网（北京）股份有限公司 $