第二章 3 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考分式函数与根式函数的值域核心考点，按分式函数（分离常数、换元、判别式法等角度）和根式函数（换元、三角换元、导数法等角度）的逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破值域求解难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于采用一题多解和分层练习策略，如求分式函数值域时结合分离常数与判别式法，求根式函数值域时运用换元与导数法，培养学生数学思维和运算能力。设置基础巩固到综合应用的对点练，配合即时反馈，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

　分式函数与根式函数的值域 题型一　分式函数的值域 角度1　函数f(x)的值域 要点：分离常数，构造反比例函数.即函数f(x)＋(a≠0，ad≠bc)的定义域是(－∞，－)∪(－，＋∞)，值域是(－∞，)∪(，＋∞). 函数f(x)的值域是　　　　　　. 答案：(－∞，－3)∪(－3，＋∞) 解析：因为f(x)－3，所以函数f(x)的值域是(－∞，－3)∪(－3，＋∞). 角度2　函数f(x)的值域 要点：换元，设t＝ax＋b. 函数f(x)的值域是　　　　　　. 答案：(－∞，－2＋3]∪[2＋3，＋∞) 解析：设t＝x－1，则x＝t＋1，y(2t＋)＋3∈(－∞，－2＋3]∪[2＋3，＋∞). 角度3　函数f(x)的值域 要点：法一：二次函数＋不等式，形如f(x). 法二：方程思想，判别式法. 法三：当，，中有两个相等时，分离常数→取倒数→构造基本不等式，二次函数，换元. (一题多解)求函数y的值域. 解：法一(分离常数，构造不等式)：因为x2－x＋1＝(x－)2＋＞0，所以函数的定义域为R. y＋1， ①当x＝0时，y＝1； ②当x≠0时，［(x＋)－1］∈(－∞，－］∪［，＋∞)， ∈［－，0)∪(0，2]，y∈［，1)∪(1，3]. 综上所述，函数y的值域为［，3］. 法二(方程思想，判别式法)：因为x2－x＋1＋＞0，所以函数的定义域为R.由y，得(y－1)x2－(y＋1)x＋y－1＝0，①当y－1＝0即y＝1时，－2x＝0，x＝0，所以y＝1是所求值域中的值；②当y－1≠0即y≠1时，因为方程(y－1)x2－(y＋1)x＋y－1＝0恒有实根，所以Δ＝(y＋1)2－4(y－1)2≥0，解得≤y≤3，所以y∈［，1)∪(1，3]. 综上所述，函数y的值域为［，3］. 对点练1.函数y的值域为　　　　　　　. 答案： 解析：(分离常数法)函数的定义域为{x｜x≠2，x≠－3}.y1－≠1，因为当且仅当x＝2时，1－－，所以函数y的值域为{y}. 对点练2.函数y的值域为　　　　　. 答案：［1，］ 解析：法一(方程思想，判别式法)：因为x2－x＋1＋＞0，所以函数的定义域为R.由y，得(y－2)x2－(y－1)x＋y－1＝0，①当y－2＝0即y＝2时，－x＋1＝0，x＝1，所以y＝2是所求值域中的值；②当y－2≠0即y≠2时，因为方程(y－2)x2－(y－1)x＋y－1＝0恒有实根，所以Δ＝(y－1)2－4(y－2)(y－1)≥0，解得1≤y≤，所以y∈[1，2)∪(2，］.综上所述，函数y的值域为［1，］. 法二(分离常数，构造不等式)：因为x2－x＋1＋＞0，所以函数的定义域为R.y＋1，①当x＝0时，y＝1；②当x≠0时，－＋1＋≥，所以0＜≤，y＋1∈(1，］.综上所述，函数y的值域为［1，］. 对点练3.已知函数f(x)的值域为，求实数a，b的值. 解：依题意，－1≤≤2， 即恒成立，且两个等号都能成立， 所以解得a＝±2，b＝1. 题型二　根式函数的值域 角度1　函数f(x)＝ax＋b±的值域 要点：换元，设t，构造二次函数. (1)函数f(x)＝x＋2的值域为　　　　　　　. (2)函数f(x)＝x－2＋1的值域为　　　　　　　. 答案：(1)　　(2) 解析：(1)设t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝x＋21－t2＋2t＝－(t－1)2＋2∈(－∞，2]，所以函数f(x)＝x＋2的值域为. (2)由题设t，t≥0，所以x＝1－t2.则f(x)＝g(t)＝－(t＋1)2＋3，根据一元二次函数性质不难得到t＝0时，函数最大值为2，没有最小值，所以函数值域为(－∞，2]. 角度2　函数f(x)＝x±的值域 要点：换元，注意等价性. (一题多解)(1)求函数f(x)＝x＋的值域； (2)求函数f(x)＝x－的值域. 解：(1)法一(不等式思想＋分子有理化)： 当x∈时，f(x)单调递增，值域为； 当x∈时，f(x)＝x＋－， 因为∈，＋1∈，＋1∈，∈， 所以f(x)∈， 综上所述，函数f(x)的值域为[－2，－1)∪[0，＋∞). 法二(方程(组)思想＋等价变换)： y＝x＋⇔y－x⇔⇔ 所以≤y，即≥0，解得y∈[－2，－1)∪[0，＋∞)， 综上所述，函数f(x)的值域为[－2，－1)∪[0，＋∞). (2)法一(三角换元)：由－x2＋6x－7≥0，解得3－≤x≤3＋，设x＝3＋cos α，α∈[0，π]， 则f(x)＝g(α)＝3＋cos α－3＋cos α－sin α＝3＋2cos(α＋)∈[1，3＋].所以f(x)的值域为[1，3＋]. 法二(导数法)：由－x2＋6x－7＝0，解得x＝3±，设t＝x－3∈[－，]，则x＝t＋3， 则f(x)＝t＋3－g(t)，g'(t)＝1＋，令g'(t)≤0，－≤t≤－1，令g'(t)≥0，－1≤t≤，所以g(t)在[－，－1]上单调递减，在[－1，]上单调递增，g(t)∈[1，3＋].所以f(x)的值域为[1，3＋]. 对点练4.(一题多解)已知实数x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x＋的最小值是　　　　. 答案： 解析：法一(方程组思想＋判别式法)：设t＝x＋x＋x＋，则(t－x)2＝5x2－8x＋4，4x2＋(2t－8)x＋4－t2＝0，Δ＝(2t－8)2－16(4－t2)＝20t2－32t≥0，所以t≤0(舍去)或t≥，当t时，解4x2＋(2t－8)x＋4－t2＝0，得x，所以当时，t，所以x＋的最小值是. 法二(双变量转单变量＋导数法)： x＋x＋x＋，设f(x)＝x＋，x∈[0，1]， 则f'(x)＝1＋，解＋5x－4＞0，得＜x＜1；解＋(5x－4)＜0，得x＜，所以f(x)在［0，)上单调递减，在(，1］上单调递增，所以f(x)≥f()，所以x＋的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $