第二章 2 第二节 函数的单调性与最值（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，按定义、性质、应用逻辑架构知识，涵盖单调函数判定、单调区间求法、最值求解及单调性应用等内容。通过课标研读明确要求，考点分层探究（含自主练透、师生共研），真题与教材题对接，分层练习巩固，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如用定义法和导数法证明单调性训练逻辑推理，结合符号语言与图象描述强化表达。设置复合函数单调区间求法等实例，先定定义域再分析内外层函数单调性，高效突破考点。分层练习与即时反馈确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供清晰指引。

第二节　函数的单调性与最值 【课标研读】　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义.　2.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.例如对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，].(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 【常用结论】 (1)单调性定义的等价形式 设对任意的x1，x2∈[a，b]，x1≠x2. ①若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或＞0，则f(x)在[a，b]上单调递增. ②若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0，则f(x)在[a，b]上单调递减. (2)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： ①(基本初等函数法)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数. ②若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反. ③函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y的单调性相反. ④(复合函数法)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关.简记为：“同增异减”. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)＜f(2) B.函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C.若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D.函数y的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：BCD 2.(多选)(链接人教A必修一P86T3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.y－x B.y＝x2－x C.y＝－x2－2x D.y＝ex 答案：AC 3.(链接人教A必修一P81例5)函数f(x)在区间[1，5]上的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 答案：3　 4.(链接人教A必修一P100T4)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 考点一　函数的单调性　　　　多维探究 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 答案：D 解析：由x2－2x－8＞0，得f(x)的定义域为{x｜x＞4，或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，＋∞).故选D. 2.函数f(x)的增区间是　　　　. 答案：(－1，1) 解析：当x≠0时，f(x)，因为y＝x＋在(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在(－1，0)，(0，1)上单调递增，且x＜0时f(x)＜0，x＝0时，f(x)＝0，x＞0时，f(x)＞0，所以f(x)在(－1，1)上单调递增，即f(x)的增区间是(－1，1). 3.函数y＝｜－x2＋2x＋1｜的增区间是　　　　　　. 答案：， 解析：作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞). 角度2　判断或证明函数的单调性 (1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－ln x B.f(x) C.f(x)＝－ D.f(x)＝3｜x－1｜ 答案：C 解析：对于A，因为y＝ln x在上单调递增，所以f－ln x在上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在上单调递增，所以f在上单调递减，故B错误；对于C，因为y在上单调递减，所以f－在上单调递增，故C正确；对于D，因为f，f30＝1，f3，显然f在上不单调，故D错误.故选C. (2)(一题多解)试讨论函数f(x)(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝aa， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a(1＋)， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)：f'(x)－. 故当a＞0时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 1.判断函数单调性(或求单调区间)的方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法(见常用结论). 2.抽象函数单调性的判断策略 (1)若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； (2)若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 注意：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 　　 对点练1.(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈，＜0的是(　　) A.f(x)＝－2(x－1)2－2 B.f(x)＝3x＋5 C.f(x)＝1＋ D.f(x)＝｜x－4｜ 答案：AC 解析：由题意可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)＝｜x－4｜显然f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，不满足题意.故选AC. 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证： (1)f(0)＝1； (2)x∈R时，恒有f(x)＞0； (3)f(x)在R上是减函数. 证明：(1)根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)＝1. (2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1； 当x＝0时，f(0)＝1＞0； 当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1. 因为f(x＋(－x))＝f(x)·f(－x)， 所以f(x)·f(－x)＝1，所以f(x)＞0. 故x∈R时，恒有f(x)＞0. (3)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)＞0， 又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1， 故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数. 考点二　函数的最值　　　　师生共研 (1)函数f(x)－log2在区间[－2，2]上的最大值为　　　　. (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是　　　　. 答案：(1)8　(2)1 解析：(1)因为函数y，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)－log2在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f－log29－1＝8. (2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：依题意h(x)当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 求函数最值的三种常用方法 注意：对于较复杂的函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 　　 对点练3.函数y＝x＋的最小值为　　　　. 答案：1 解析：法一：(换元法)令t，t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0，配方得y＋.又因为t≥0，所以y≥＋1，故函数y＝x＋的最小值为1. 法二：(单调性法)由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y＝x和y在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1. 对点练4.设f(x)则f(x)的最小值为　　　　. 答案：2－3 解析：当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. 考点三　函数单调性的应用　　　　多维探究 角度1　利用单调性比较大小 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有＜0，则(　　 ) A.f(－2)＜f(3)＜f(4) B.f(－2)＞f(3)＞f(4) C.f(3)＜f(4)＜f(－2) D.f(4)＜f(－2)＜f(3) 答案：A 解析：因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有＜0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＜f(3)＜f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)＜f(3)＜f(4).故选A. 角度2　利用单调性解函数不等式 函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案：[－1，1) 解析：依题意得⇒－1≤a＜1.所以实数a的取值范围是[－1，1). 角度3　利用单调性求参数的取值范围 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) (2)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.( 0，) B.( 0，］ C.(0，1) D.(0，1] 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D. (2)因为函数f(x)是定义在R上的增函数，所以解得0＜a≤，所以实数a的取值范围为( 0，］.故选B. 1.比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，需要注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围)时，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，既要保证每一段函数的单调性，还要注意衔接点的取值. 　　 对点练5.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(－，－2)∪(2，) 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜，所以实数x的取值范围是(－，－2)∪(2，). 对点练6.若函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：[1，2) 解析：f(x)1＋，因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以解得1≤a＜2，所以实数a的取值范围为[1，2). [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 答案：B 解析：因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的范围是[－1，0].故选B. [教材呈现]　(人教A必修一P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围. 点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材. 学科网（北京）股份有限公司 $