第二章 1 第一节 函数的概念及其表示（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及表示这一高考核心模块，依据课标要求系统梳理定义域、解析式、分段函数等考点，构建从概念要素到常用结论的知识网络。通过考点自主练透、师生共研、真题再现等环节，结合方法指导与分层训练，帮助学生突破定义域求解、分段函数应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，创新采用一题多变、变式探究等教学活动，如函数解析式教学中通过配凑法、换元法对比训练，引导学生用数学眼光分析问题。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合真题解析与即时反馈，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第一节　函数的概念及其表示 【课标研读】　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.函数的有关概念 [微提醒]　(1)直线x＝a(a为常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.(2)判断两个函数是不是同一个函数时，若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性. 2.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)可转化为分段函数的函数 ①含有绝对值的函数：形如y＝｜x｜，y＝｜x－2｜等. ②最值函数：设min{a，b}max{a，b}直观上来说min{a，b}用来表示a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. [微提醒] 　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数，各部分函数的定义域的交集是空集. 【常用结论】 基本初等函数的定义域与值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a＞0时，值域为［，＋∞)；当a＜0时，值域为(－∞，］. (3)y(k≠0)的定义域是{x｜x≠0}，值域是{y｜y≠0}. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是R，值域是(0，＋∞). (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域是(0，＋∞)，值域是R. (6)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B.函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C.y＝x0与y＝1是同一个函数 D.函数f(x)的定义域为R 答案：ABC 2.(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 答案：D 3.(多选)(链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)与g(x)＝x C.f(x)与g(x) D.f(x)＝x与g(x) 答案：AC 解析：f(x)与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)｜x｜的对应关系不同，故B、D错误，A、C正确.故选AC. 4.已知函数f(x)则f(f(－))＝　　　　. 答案：1 解析：f3，则ff(3)＝log33＝1. 考点一　函数的定义域 　　　　自主练透 1.函数f(x)＋的定义域为(　　) A.[－2，0)∪(0，2] B.(－1，0)∪(0，2] C.[－2，2] D.(－1，2] 答案：B 解析：要使函数有意义，则需解得－1＜x≤2且x≠0，所以x∈(－1，0)∪(0，2].故选B. 2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)的定义域是(　　) A.(－∞，－2)∪(－2，3] B.(－8，－2)∪(－2，1] C.∪ D. 答案：C 解析：因为f(x)的定义域为，所以解得－≤x≤0，且x≠－2.所以g(x)的定义域为∪.故选C. 3.已知函数f(2x＋1)的定义域为[1，2]，则函数f(4x＋1)的定义域为(　　) A.[3，5] B.［，1］ C.[5，9] D.［0，］ 答案：B 解析：在f(2x＋1)中，x∈[1，2]，所以2x＋1∈[3，5]，所以在f(4x＋1)中，4x＋1∈[3，5]，所以x∈.故选B. 4.若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0＜a＜.综上，实数a的取值范围是.故选D. 1.若已知函数的解析式，其定义域就是使函数解析式中所含式子(运算)有意义，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 3.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 　　 考点二　函数的解析式　　　　　师生共研 (一题多变)根据下列条件求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式； (2)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)是单调递增的一次函数，且满足f(f(x))＝16x＋5，求函数f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 解：(1)(配凑法)已知f(＋1)＝x＋2，则f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 令t＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (3)(待定系数法)因为f(x)是单调递增的一次函数，所以设f(x)＝ax＋b，a＞0， 故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以 解得或(不符合题意，舍去). 因此f(x)＝4x＋1. (4)(构造法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x①， 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②， 由①②解得f(x)＝3x. [变式探究] 1.(变条件)若本例(1)条件变为fx4＋，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－2(x≥2) 解析：fx4＋－2，又x2＋≥22，当且仅当x2，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)，所以f(x)＝x2－2(x≥2). 2.(变条件)若本例(4)条件变为2f(x)＋f()＝3x，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝2x－ 解析：因为2f(x)＋f()＝3x①，所以将x用替换，得2f()＋f(x)＝3·②，由①②解得f(x)＝2x－. 函数解析式的求法 1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a－2x，sin x±cos x与sin xcos x一般都运用配凑法 . 2.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 3.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 4.构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，充分体现了方程思想的应用. 　　 对点练1.已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝3x－1 解析：法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，所以f(x)＝3x－1. 法二(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，所以f(x)＝3x－1. 对点练2.已知fx2＋，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝x2＋2 解析： 因为fx2＋＋2，所以f(x)＝x2＋2. 对点练3.已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)x2－x＋2 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以即所以f(x)x2－x＋2. 考点三　分段函数　　　　多维探究 角度1　分段函数求值 已知函数f(x)则f(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：fffff＋3＋.故选A. 角度2　分段函数与方程、不等式 (1)已知函数f(x)若f(a－2)＝f(a)，则f(　　 ) A.11 B.6 C.4 D.2 (2)设函数f(x)则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意得函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数，因为f(a－2)＝f(a)，所以解得0＜a≤2，所以a2＋a＝5(a－2)＋6，即a2－4a＋4＝0，解得a＝2，符合题意，所以ff(1)＝12＋1＝2.故选D. (2) 由题意得，当x＞时，2x＋＞1恒成立，即x＞满足题意；当0＜x≤时，2x＋＋1＞1恒成立，即0＜x≤满足题意；当x≤0时，x＋1＋＋1＝2x＋＞1，所以x＞－，即－＜x≤0.综上，x的取值范围是. 解决分段函数问题的方法 1.求分段函数的函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f)的值时，应由内到外依次求值. 2.已知函数值或范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 注意：(1)当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.(2)若分段函数某一段的解析式形如ff(m≠0)的形式，则应由此得出函数的周期，利用周期将自变量的值进行转化，然后代入到另一段解析式求值. 　　 对点练4.(2025·山东泰安模拟)已知函数f且f－12，则f(6－m)＝(　　) A.－1 B.－3 C.－5 D.－7 答案：D 解析：由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f(m)＝4(m＋1)＝－12，得(m＋1)＝－3＝lo8，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7.故选D. 对点练5.(多选)已知函数f(x)关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.f(f(－2))＝0 B.f(x)的值域为(－∞，4) C.f(x)＜1的解集为(－1，1) D.若f(x)＝3，则x的值是 答案：ABD 解析：函数f(x)的图象如图所示： 易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正确； f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f(x)＜1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；f(x)＝3，即解得x，故D正确.故选ABD. 对点练6.已知函数f(x)则f(x)＜f(x＋1)的解集为　　　　. 答案： 解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)等价于x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0，所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)；当x＞1时，x＋1＞2，f(x)＜f(x＋1)等价于log2x＜log2(x＋1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)＜f(x＋1)的解集为. [真题再现]　(2022·浙江卷)已知函数f则f　　　　；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　　　　　　　. 答案： 　 3＋ 解析：由已知f()＝－＋2，f()＋－1，所以 f.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x＞1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋，1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，所以b－a的最大值为3＋. [教材呈现]　(人教A必修一P65例2(3))已知函数f(x)＋，当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值. 点评：2022年浙江卷高考题与教材例题在考查函数的赋值与整体代换的思想的同时，又在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 学科网（北京）股份有限公司 $