第一章 8 教材拓展2 一元二次方程根的分布（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习资料聚焦一元二次方程根的分布核心考点，按两根与实数k的大小关系、两根所在区间两类题型系统梳理，通过考点表格归纳条件、方法指导（数形结合、二次函数性质应用）、真题例题解析及对点训练，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用数形结合教学策略，以二次函数图象为载体分析根的分布条件，培养学生数学思维与几何直观能力。如通过设函数f(x)，结合判别式、对称轴、端点函数值列不等式组解决问题，设置分层对点练，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

　一元二次方程根的分布 　　解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解：(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号.一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但基本可以分为以下两类题型. 题型一　已知两根与实数k的大小关系 根的分布 情况(以 a＞0为例) 两根都 小于k 两根都 大于k 一个根小 于k，一个 根大于k 图象的大 致形状 满足的不 等式(组) f(k)＜0 (1)若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－2，1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)C　(2)(0，3－2)∪(3＋2，＋∞) 解析：(1)设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意有f(1)＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，故选C. (2)设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，依题意有，即解得0＜m＜3－2或m＞3＋2. 　　当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0. 　　 题型二　已知两根所在的区间 根的分布 情况(以a ＞0为例) 两根都在 (m，n)内 有且仅有 一根在 (m，n)内 一根在(m，n) 内，另一根在 (p，q)内，且 m＜n＜p＜q 图象的大 致形状 (a＞0) 满足的不 等式(组) f(m)·f(n)＜0 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数 m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 解：(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图，由题意，得 解得－＜m＜－. 故实数m的取值范围为(－，－). (2)由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图，由题意，得 解得－＜m≤1－. 故实数m的取值范围为(－，1－］. 　　求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴；④在区间端点处的函数值. 　　 对点练1.已知一元二次方程x2－mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：B 解析：设fx2－mx＋1，由题意可得解得2≤m＜.因此实数m的取值范围是.故选B. 对点练2.设m为实数，若二次函数y＝x2－x＋m在区间上有两个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　. 答案： 解析：二次函数y＝x2－x＋m的对称轴为x，且开口向上，因为二次函数y＝x2－x＋m在区间上有两个零点，所以方程x2－x＋m＝0在区间内有两个不同的根，设f(x)＝x2－x＋m，由题意可得解得0＜m＜，所以m∈. 对点练3.关于x的方程x2＋x＋m＝0满足下列条件，求实数m的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内. 解：(1)令fx2＋x＋m， 法一：设f0的两个根为x1，x2. 由题意可得解得0＜m≤1. 所以实数m的取值范围为(0，1]. 法二：由题意可得解得0＜m≤1. 所以实数m的取值范围为(0，1]. (2)令fx2＋x＋m， 若方程x2＋x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1， 由于f1－＋m＝4＞0，fx2＋x＋m开口向上， 故只需f2m－2＜0，解得m＜1. 所以实数m的取值范围为(－∞，1). (3)令fx2＋x＋m， 若方程x2＋x＋m＝0的一个根在内，另一个根在内， 结合fx2＋x＋m开口向上，由题意可得 解得－＜m＜0. 所以实数m的取值范围为(－，0). 学科网（北京）股份有限公司 $