第一章 7 第五节 第2课时 一元二次方程、不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦一元二次方程、不等式高考核心考点，以三个“二次”关系为统领，系统梳理不等式解法、恒成立问题等内容，构建“定义-关系-应用”的知识体系。通过课标研读明确要求，自主检测诊断学情，考点分层探究（自主练透+多维探究）突破重点，真题训练对接高考，形成系统性复习闭环。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，创新采用表格对比三个“二次”关系培养几何直观，通过含参不等式分类讨论发展推理能力，恒成立问题主元法与分离参数法对比强化运算能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用教学方案。

第2课时　一元二次方程、不等式 【课标研读】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.三个”二次“间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等 的实数根x1， x2(x1＜x2) 有两个相等的 实数根x1＝ x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 【常用结论】 (1)分式不等式的解法 ①＞0(＜0)⇔f(x)·g＞0(＜0). ②≥0⇔ (2)绝对值不等式的解法 绝对值不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；｜x｜＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0 D.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 答案：AD 2.(链接人教A必修一P53T1)不等式－2x2＋x≤－3的解集为　　　　　　　　. 答案：(－∞，－1]∪ 解析：由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥，故不等式的解集为(－∞，－1]∪. 3.不等式＜0的解集为　　　　　　 　. 答案：(2，3) 解析：＜0等价于(x－3)(x－2)＜0，解得2＜x＜3.故不等式的解集为(2，3). 4.(易错题)(链接人教A必修一P58T6)若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为　　　　　. 答案：(－3，0] 解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3＜k＜0，所以－3＜k≤0，即实数k的取值范围为(－3，0]. 考点一　三个“二次”的关系　　　　自主练透 1.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝(　　 ) A.14 B.－14 C.10 D.－10 答案：B 解析：依题意知解得故a＋b＝－14.故选B. 2.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－4，或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－5} C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 D.a＋b＋c＞0 答案：AC 解析：由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a＞0，故A正确；因为－4，5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以解得所以 bx＋c＞0，即－ax－20a＞0，解得x＜－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－20ax2＋ax＋a＜0，即20x2－x－1＞0，即(5x＋1)(4x－1)＞0，解得x＜－或x＞，故C正确；因为1∉{x｜x≤－4，或x≥5}，所以a＋b＋c＜0，故D错误.故选AC. 3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为　　　　. 答案： 解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a. 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 　　 考点二　一元二次不等式的解法　　　　多维探究 角度1　不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1，或2＜x≤3}. 角度2　含参数的一元二次不等式 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0. 因为a＞0，所以a(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，不等式无解； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为. 1.形如a≤f(x)≤b的不等式等价于 2.对含参的不等式的参数进行分类讨论的常见分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 　　 对点练1.解下列关于x的不等式： (1)x－3＞－2； (2)＞1； (3)x2－(a2＋a)x＋a3＜0(a＞0)； (4)x2－ax＋1≤0. 解：(1)由不等式x－3＞－2，可得＞2或＜1.由＞2，得x＞4； 由＜1，得x＜1且x≥0，即0≤x＜1. 所以不等式的解集为{x｜x＞4，或0≤x＜1}. (2)＞1⇒－1＞0⇒＞0⇒＜0⇒－1＜x＜0， 故不等式的解集为(－1，0). (3)原不等式可化为(x－a)(x－a2)＜0， 当a2＞a，即a＞1时，不等式的解集为{x｜a＜x＜a2}； 当a2＜a，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜a2＜x＜a}； 当a2＝a，即a＝1时，不等式的解集为⌀. (4)由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x， 所以解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即(x＋1)2≤0， 所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时， 原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 考点三　一元二次不等式恒成立问题　　　　多维探究 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案：A 解析：当k＝0时，8＞0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0＜k≤1.综上实数k的取值范围是[0，1].故选A. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (1)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) (2)(一题多解)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)当a＞2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2当2＜x＜a时，f－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意.当0＜a≤2，x＞2时，f(x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1.当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，f(x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1.故选B. (2)要使f(x)＜5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立. 法一：令gm＋m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以gg(3)，即7m－6＜0，所以m＜，所以0＜m＜；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以gg(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，实数m的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＋＞0， m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m＜在x∈[1，3]上恒成立. 令y，因为函数y在[1，3]上的最小值为， 所以只需m＜即可. 所以实数m的取值范围是. 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案：D 解析：不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0， 由已知可得＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得解得x＜－1或x＞3.故选D. 恒成立问题求参数范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论. 　　 对点练2.(一题多问，一题练透)已知关于x的不等式mx2－2x－m＋1＜0. (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由. (2)若不等式对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围. (3)对于m∈[－2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围. (4)若不等式在[2，3]上有解，求实数m的取值范围. 解：(1)当m＝0时，－2x＋1＜0对任意x∈R不恒成立，不满足； 当m＜0时，Δ＝4－4m(1－m)＝4m2－4m＋4＜0无解. 故不存在实数m，使得不等式对任意x∈R恒成立. (2)令f(x)＝mx2－2x－m＋1. 当m＞0时，解得m＞1； 当m＝0时，－2x＋1＜0在[0，1]上不恒成立； 当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x，抛物线开口向下，所以只需f(0)＝－m＋1＜0，解得m＞1，矛盾. 综上，实数m的取值范围为(1，＋∞). (3)利用主元法，设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1， 若当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立， 则即 解得＜x＜， 所以实数x的取值范围为(，). (4)因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜，即m＜()max， 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1， 所以m＜()max＝()max＝()max. 因为函数y＝x和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y在[3，5]上为减函数， 所以m＜()max＝1. 故实数m的取值范围为(－∞，1). [真题再现]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N，则M∩N＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：法一：因为N∪，而M，所以M∩N.故选C. 法二：因为M，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一 P55 T1)求下列不等式的解集： (1)13－4x2＞0；(2)(x－3)(x－7)＜0； (3)x2－3x－10＞0；(4)－3x2＋5x－4＞0. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系解决. 学科网（北京）股份有限公司 $