第一章 5 教材拓展1 基本不等式链与柯西不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式链与柯西不等式核心考点，以“概念梳理-题型突破-应用强化”为主线，系统整合四平均数关系及二维三维柯西不等式，通过考点分析、方法归纳、真题精讲和分层练习，帮助学生构建知识网络，突破不等式应用难点。 资料以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新采用对比辨析与一题多解策略，设计从基础判断到最值求解的递进式练习。通过典型真题解析和即时对点训练，帮助学生掌握不等式构造技巧，提升逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供高效教学资源。

　基本不等式链与柯西不等式 题型一　基本不等式链 基本不等式≤(a＞0，b＞0)可以拓展为如下的基本不等式链： 若a＞0，b＞0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立， 其中，，， 分别叫做a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值类问题的求解更加方便. (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 答案：ACD 解析：对于A，由基本不等式可得≤，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；对于B，由≤，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b时等号成立，故B错误；对于C，由≥，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，由≤，得＋≤，当且仅当a＝b时等号成立，故D正确.故选ACD. 对点练1.已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.＋ C. D. 答案：B 解析：因为a，b为互不相等的正实数，所以＋，，＜ ，所以最大的是＋.故选B. 对点练2.若a＞0，b＞0，且a＋2b＝3，则a2＋4b2的最小值等于　　　，＋的最大值等于　　　. 答案： 解析：由基本不等式≤，可得≥，所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b时等号成立.≤ ，所以＋≤，当且仅当a＝2b时等号成立. 题型二　 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. 2.三维形式的柯西不等式 (＋＋)(＋＋)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当时，取等号. (1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为　　　　. (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为　　　　. 答案：(1)13　(2) 解析：(1)由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2＝132，所以x2＋y2≥13，当且仅当，即x＝2，y＝3时取等号. (2)由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c时，＋＋的最大值为. 对点练3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　 ) A.14 B. C.29 D. 答案：B 解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x，y，z时等号成立.故选B. 对点练4.(一题多解)当＜x＜时，函数y＋的最大值为　　　　. 答案：2 解析：法一：由柯西不等式，得[()2＋()2](1＋1)≥(＋)2，所以(＋)2≤8，即＋≤2，当且仅当，即x时等号成立. 法二： 由≤ ，得a＋b≤2，则y＋≤22，当且仅当，即x时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $