第一章 4 第四节 基本不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式高考核心考点，涵盖利用基本不等式求最值（配凑、常数代换等方法）、参数范围求解及实际应用，按“知识梳理-方法探究-真题演练”逻辑架构，通过多维角度例题解析与分层对点练，帮助学生构建解题框架，突破“一正二定三相等”难点，体现系统性复习设计。 资料以数学思维培养为核心，创新采用换元法转化复杂问题、常数代换法破解条件最值等策略，结合教材原题与高考真题对比分析，设置基础检测与能力提升练习，助力学生在有限时间内掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实战化教学支撑。

第四节　基本不等式 【课标研读】　1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，并能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 1.基本不等式：≤ 2.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大). [微提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”. 【常用结论】 几个重要的不等式 当且仅当a＝b时，等号成立. 【自主检测】 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y＝x＋(x＞0)的最小值是2 C.函数f(x)＝sin x＋的最小值为4 D.已知x，y均为实数，则“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件 答案：ACD 2.(链接人教A必修一P45例1)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C 3.已知0＜x＜3，则x(3－x)的最大值为　　　　. 答案： 解析：因为0＜x＜3，所以x(3－x)≤.当且仅当x＝3－x，即x时，“＝”成立. 4.(链接人教A必修一P46例3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　　　　m2. 答案：25 解析：设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为×m，其中0＜x＜10，所以y＝x≤25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 考点一　利用基本不等式求最值　　　　多维探究 角度1　配凑法 (1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为　　　　　　　. (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为　　　　　　　. 答案：(1)5　(2) 解析：(1)因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5，即x时取等号. (2)x(3－2x)·2x(3－2x)≤·，当且仅当2x＝3－2x，即x时取等号. 角度2　常数代换法 (1)(2025·江苏扬州调研)设x＞0，y＞0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A. B.2 C.＋ D.3 (2)(2025·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足＋1，则4xy－3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案：(1)C　 (2)B 解析：(1)因为＋2y＝2，所以＋y＝1，因为x＞0，y＞0，所以x＋＋xy＋＋1＋xy＋≥＋2＋2×＋，当且仅当即时取等号.故选C. (2)由x＞0，y＞0，且＋1，可得xy＝x＋y，所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y，所以x＋4y＝(x＋4y)5＋＋≥9，当且仅当，即x＝3，y时取等号，所以4xy－3x≥9.故选B. 角度3　消元法 (1)已知正实数a，b满足＋b＝1，则的最大值为　　　　. (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是　　　　. 答案：(1)　(2)3 解析：(1) 因为正实数a，b满足＋b＝1，1－b＞0，0＜b＜1，·2b＝(1－b)·2b＝2·b·(1－b)≤2，当且仅当b＝1－b，即b，a＝2时等号成立. (2) 因为x2＋2xy－3＝0，x＞0，y＞0，所以y，x∈(0，)，所以2x＋y＝2x＋＋≥23，当且仅当，即x＝1时取等号. 角度4　换元法 已知正数x，y满足＋1，则x＋y的最小值为　　　　. 答案： 解析：令x＋2y＝m，2x＋y＝n，则＋1，m＋n＝(x＋2y)＋(2x＋y)＝3(x＋y)，所以x＋y(m＋n)×≥(2＋2)，当且仅当，即m＝2，n＝2时等号成立，此时x＝y，故x＋y的最小值为. 利用基本不等式求最值的方法 1.利用配凑法求最值，主要解决形如“cx＋d＋或ax(c－bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值. 注意：角度4中的换元法实质还是配凑法或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用. 　　 对点练1.(多选)(2024·湖南“一起考”大联考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则(　　) A.a＋b≤4 B.ab≥4 C.a＋4b≤9 D.＋≥ 答案：BD 解析：对于A、B，因为a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，a＋b＝ab≥2，则ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A错误，B正确；对于C，若a＋b＝ab，则＋1，所以a＋4b5＋＋≥5＋29，当且仅当，即b，a＝3时等号成立，故C错误；对于D，若a＋b＝ab，则＋1，所以＋＋－＋1＋，由a＞0，b＞0及＋1，可知0＜＜1，则当，即a，b＝3时，＋取得最小值，故D正确.故选BD. 对点练2.已知a＞1，b＞0，且＋1，则2a＋b的最小值为　　　　. 答案：11 解析： 因为a＞1，b＞0，a－1＞0，所以2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b]＋2＝7＋＋≥7＋211，当且仅当即a＝4，b＝3时等号成立. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围　　　　师生共研 (1)若对于任意的x＞0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　 ) A.[5，＋∞) B.(5，＋∞) C.(－∞，5] D.(－∞，5) (2)已知x＞0，y＞0，且＋1，若2x＋y＜m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　 ) A.(－∞，－1)∪(9，＋∞) B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9，1] 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)令f(x)，x＞0，由题意可得a≤f(x)min，f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x，即x＝1时等号成立，a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].故选C. (2)因为x＞0，y＞0，且＋1，所以2x＋y＝(2x＋y)5＋＋≥5＋29，当且仅当，且＋1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).故选A. 　　分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题. 　　 对点练3.(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　 ) A.4 B.5 C.24 D.25 答案：C 解析：因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)[a2＋(b2＋1)]＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当，即3a2＝2(b2＋1)(k＋1)时等号成立，即＋≥，由题意可得≥1，又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. 对点练4.若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：[－2，8] 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥24，即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8，则实数m的取值范围是[－2，8]. 考点三　基本不等式的实际问题　　　　师生共研 (链接人教A必修一P58T9)某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值是　　　　，此时x的值是　　　　. 答案：118 000　 解析：由题知，AM，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×4 200x2＋42 000－210x2＋4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2，即 x时等号成立，所以当x时，S取最小值118 000. 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 　　 对点练5.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 答案：D 解析：设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A－1－1≥－1－1，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cos A)min，所以(sin A)max，所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.故选D. 1.[真题再现]　(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为ab≤()2≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得(x－)2＋y2＝1，设x－cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，ysin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＋sin(2θ－)∈［，2］，所以当x，y＝－时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误.故选BC. [教材呈现]　(人教A必修一P58T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 点评：该高考题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到x＋y与xy的转化及不等关系，通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查. 2.[真题再现]　(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y＝x2＋2x＋4 B.y＝｜sin x｜＋ C.y＝2x＋22－x D.y＝ln x＋ 答案：C 解析：对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝｜sin x｜＋≥24，所以y≥4，当且仅当｜sin x｜，即｜sin x｜＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知｜sin x｜＝2不可能成立，因此可知y＞4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x≥24，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意；对于D，当0＜x＜1时，ln x＜0，y＝ln x＋＜0，所以D不符合题意.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P46T2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋＞2；(2). 点评：该高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似. 学科网（北京）股份有限公司 $