第一章 2 第二节 常用逻辑用语（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判断、量词命题否定及应用，以概念梳理-结论提炼-考点分层的逻辑架构组织知识，通过考点梳理（如条件关系定义表格）、方法指导（定义法、集合法）、真题训练（2024年全国甲卷等）及分层练习，帮助学生系统突破逻辑推理难点。 资料突出逻辑关系可视化教学，将抽象条件关系转化为集合包含关系（如A⊆B对应充分条件），结合“一题多变”变式训练（如¬P是¬S的条件转化），培养学生数学思维与抽象能力。设置微提醒规避易混点，真题变式即时巩固，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二节　常用逻辑用语 【课标研读】　1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且q⇏p p是q的　必要不充分　条件 p⇏q且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p [微提醒]　(1)A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且B⇏A.(2)A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且A⇏B. 2.全称量词命题与存在量词命题 [微提醒]　(1)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.(2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【常用结论】 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B； (5)若p是q的既不充分又不必要条件，则A⊈B且B⊈A. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B D.命题“∃x∈R，sin2＋cos2”是真命题 答案：ABC 2.(多选)(链接人教A必修一P34T5)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：ABD 3.(链接人教A必修一P31T3)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A.∃x0∈R，＋x0≤0　　 B.∃x0∈R，＋x0＜0 C.∀x∈R，x2＋x≤0 D.∀x∈R，x2＋x＜0 答案：B 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题并且否定结论知选项B正确. 4.若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是　　. 答案：(－∞，1) 考点一　充分、必要条件的判断自主练透 1.(2024·全国甲卷)设向量a，b，则(　　) A.x＝－3是a⊥b的必要条件 B.x＝－3是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a，b，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C. 2.(2024·湖南怀化二模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由q⇒p，反之不成立.所以p是q的必要不充分条件.故选B. 3.(2025·江西南昌模拟)已知p：ln＞0，q：∃x＞0，≤a，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由ln＞0，得⇒a＞2，设p：A，由∃x＞0，≤a的否定为∀x＞0，＞a，令fx＋≥2，当且仅当x时，又x＞0，即x＝1时等号成立，若∀x＞0，＞a，则a＜2，若∃x＞0，≤a，则a≥2，设q：B，因为⊇，所以p⇒q且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.适用于定义、定理判断性问题. 2.集合法：即利用集合的包含关系判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 考点二　充分、必要条件的探求与应用师生共研 (1)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10 (2)(一题多变)已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案：(1)C　(2)[0，3] 解析：(1)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒“a≥9”.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x｜－2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，又S≠⌀，所以解得0≤m≤3，故实数m的取值范围为[0，3]. [变式探究] 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为　　. 答案：[9，＋∞) 解析：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且S⇏P.所以[－2，10]⫋[1－m，1＋m].所以或所以m≥9，则实数m的取值范围是[9，＋∞). 2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解：不存在m，理由如下：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A.－2＜x＜1 B.－1＜x＜1 C.0＜x＜2 D.－1＜x＜0 答案：A 解析：不等式x2＜1等价于－1＜x＜1，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A. 对点练2.已知“(x－m)2＞3(x－m)”是“x2＋3x－4＜0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　　. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞) 解析：由(x－m)2＞3(x－m)得x＜m或x＞3＋m，设p：x＜m或x＞3＋m；由x2＋3x－4＜0得－4＜x＜1，设q：－4＜x＜1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，可得m≥1或m≤－7. 考点三　全称量词命题与存在量词命题多维探究 角度1　含量词命题的否定 (一题多变)已知命题p：∀x≥0，ln(1＋x)≥x－，则命题p的否定为(　　) A.∀x≥0，ln＜x－ B.∃x≥0，ln＜x－ C.∀x＜0，ln＜x－ D.∃x＜0，ln＜x－ 答案：B 解析：根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln≥x－，则命题p的否定为∃x≥0，ln＜x－.故选B. [变式探究] (变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案？ 解：p：∃x≥0，ln(1＋x)≥x－的否定为¬p：∀x≥0，ln(1＋x)＜x－.故选A. 角度2　含量词命题的真假判断 (多选)下列命题中的真命题是(　　) A.∀x∈R，3x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 答案：ACD 解析：当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD. 角度3　含量词命题的应用 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为　　　　. (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　. 答案：(1)(－∞，－2]　(2)(－∞，0) 解析：(1)由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. (2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是(－∞，0). 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 3.含有双量词命题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 对点练3.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.∀x∈R，－x2－1＜0 B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D.存在实数x，使得 答案：ABC 解析：∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1＜0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以≤，故D项是假命题.故选ABC. 对点练4.已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，使得x2－λx＋1＜0成立.若p为假命题，则实数λ的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，2] D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案：A 解析：因为p为假命题，所以¬p为真命题，故∀x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1≥0，即∀x∈(0，＋∞)，λ≤x＋.又当x∈(0，＋∞)时，x＋≥22，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2].故选A. 对点练5.已知f(x)＝x2，g(x)－m，若∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，所以f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，x∈[－1，3]，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)－m，x∈[0，2]，所以g(x)min＝g(2)－m.由0≥－m，得m≥，即实数m的取值范围为. 1.[真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：对于p而言，取x＝－1，则有0＜1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B. [教材呈现]　(人教A必修一P35T7)写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根； (2)每个正方形都是平行四边形； (3)∃m∈N，∈N； (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°. 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. 2.[真题再现]　(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P22习题T2)在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件““充要条件”“既不充分也不必要条件“回答)： (1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)；(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(5)p：x＞y，q：x2＞y2. 点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角度完全一致，且难度小于教材习题. 学科网（北京）股份有限公司 $