第一章 1 第一节 集 合（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义紧扣集合高考核心考点，涵盖概念、关系、运算及新定义问题，按“基础概念-关系运算-拓展应用”逻辑架构知识，结合常用结论与易错提醒构建体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生突破元素互异性、子集个数等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数形结合（Venn图、数轴）培养数学眼光，通过集合运算参数问题训练逻辑推理（数学思维），新定义题型提升数学语言表达能力。设置基础检测、考点分练、真题再现三级练习，配合易错点微提醒，确保高效突破，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

第一节　集　合 【课标研读】　1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中了解全集与空集的含义.　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* (或N＋) Z Q R [微提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且x∉A} 【常用结论】 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). (4)一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.集合{x∈N｜x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1} B.{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{(x，y)｜y＝x2＋1} C.若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1 D.对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B) 答案：ABC 2.(链接人教A必修一P8例1)已知集合A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N*}，则集合A真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案：C 解析：A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N*}＝{1，2，3}，所以集合A真子集的个数为23－1＝7.故选C. 3.(2025·八省适应性测试)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A. B. C.{0，1} D.{－1，0，1，4} 答案：C 解析：由题意可得A∩B＝{0，1}.故选C. 4.(链接人教A必修一P14T4)设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝　　　　　　　　，(∁RA)∩B＝　　　　　　　　. 答案：{x｜x≤2，或x≥10}　{x｜2＜x＜3，或7≤x＜10} 考点一　集合的基本概念　　　　自主练透 1.(2025·江苏常州模拟)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y｜x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，又x∈A，y∈B，则当y＝5时，x＋y的值有6，7，8，9，当y＝6时，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.故选C. 2.(2025·江西南昌模拟)已知A＝{x｜x2－ax＋1≤0}，若2∈A，且3∉A，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得4－2a＋1≤0且9－3a＋1＞0，解得≤a＜，即实数a的取值范围为［，).故选A. 3.已知a，b∈R，若{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 026的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.±1 答案：A 解析：由集合相等可知0∈，且a≠0，则0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2 025＋b2 026＝(－1)2 025＋02 026＝－1.故选A. 4.若集合A＝{x｜kx2＋x＋1＝0}中有且只有一个元素，则实数k的取值集合是　　　　. 答案： 解析：当k＝0时，A＝{－1}，符合题意；当k≠0时，若集合A中有且只有一个元素，由一元二次方程根的判别式Δ＝1－4k＝0，得k.综上，当k＝0或k时，集合A＝{x｜kx2＋x＋1＝0}中有且只有一个元素，k的取值集合是. 　　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 注意：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性. 考点二　集合间的基本关系 　　　　师生共研 (1)若集合A＝{x｜y}，B＝{y｜y＝2x，x∈A}，则(　　) A.A∩B＝⌀ B.A∪B＝R C.B⊆A D.A⊆B (2)(一题多变)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为A＝{x｜y}＝[0，＋∞)，B＝{y｜y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)，所以B⊆A.故选C. (2)因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意.综上所述a＝1.故选B. [变式探究] (变条件)将本例(2)中的集合A，B分别变为A＝{x｜－a＜x＜a}，B＝{x｜－1＜x＜3}，其它条件不变，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，1] 解析：当a≤0时，A＝⌀，显然A⊆B.当a＞0时，因为B＝{x｜－1＜x＜3}，若A⊆B，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0＜a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]. 1.若B⊆A，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围. 注意：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况. (2)注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论，求得参数后一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 对点练1. 已知集合A＝{x∈N*｜x2－2x－3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案：A 解析：A＝{x∈N*｜x2－2x－3＜0}＝{x∈N*｜－1＜x＜3}＝{1，2}，所以满足B⊆A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，共3个.故选A. 对点练2.(2025·山东潍坊模拟)已知集合A，集合B，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解析：由log32，则2x＋1＝32，解得x＝4，所以A，又B，A∪B＝B，即A⊆B，所以a＝4.故选D. 考点三　集合的运算　　　　　多维探究 角度1　集合的基本运算 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} (2)(2024·沈阳质量监测(三))若全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x＜3}，B＝{x｜1＜x＜4}，则A∩(∁UB)＝(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A 　(2)B 解析：(1)因为A，B，且注意到1＜＜2，从而A∩B.故选A. (2)由B＝{x｜1＜x＜4}，得∁UB＝{x｜x≤1，或x≥4}，而A＝{x｜0≤x＜3}，所以A∩(∁UB).故选B. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) (1)(2025·河北保定模拟) 设集合A＝{x｜－3≤x≤3}，B＝，{≤}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，则a＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)(2025·江西红色十校联考)设集合M，N，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为　　　　　. 答案：(1)C　 (2) 解析：(1)因为A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，所以－2是方程2x2＋x－4a＝0的解，即8－2(a－8)－4a＝0，得a＝4，当a＝4时，2x2－4x－16≤0，解得－2≤x≤4，此时B＝{x｜－2≤x≤4}，满足A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，所以a＝4.故选C. (2)由＜1可得－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为a＞0，则a－1＞－1且a＋1＞1，因为M∩N的真子集的个数为1，设M∩N的元素个数为n，则2n－1＝1，解得n＝1，因为M，则M∩N，所以a－1＜2＜a＋1，解得1＜a＜3，因此，实数a的取值范围是. 集合运算的常用方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 对点练3.(2025·河南郑州质量检测)已知集合A＝{≤}，B，则A∩B＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为A＝{≤}，所以A＝{x｜－1≤x≤4}，因为x2＋1∈[1，＋∞)，所以B＝{y｜y≥0}，所以A∩B.故选D. 对点练4.(2025·山东德州模拟)已知集合A，B，若A∪B＝A，则实数a的值为　　　　. 答案：1或2 解析：因为集合A，B，A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＝0或1或2或3，当a＝0时，B，不满足B⊆A；当a＝1时，B，满足B⊆A；当a＝2时，B，满足B⊆A；当a＝3时，B，不满足B⊆A.综上，实数a的值为1或2. 考点四　集合的新定义问题　　　　　师生共研 (1)(2025·河南洛平许济质量检测)定义集合运算：A⊗B，若集合A，B，则集合A⊗B中所有元素之和为　　　　. (2)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝　　　　. 答案：(1)4　(2)1 解析：(1) A，B，当x＝0，y＝±1时，z＝0；当x＝2，y＝－1时，z＝－2；当x＝2，y＝1时，z＝6.所以A⊗B，所以集合A⊗B中所有元素之和为0＋＋6＝4. (2)由题意得，M＝{－，}，若，则a＝4，若1，则a＝1.当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不符合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，符合题意.故a＝1. 解决集合新定义问题的3个着手点 1.正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 2.合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键. 3.对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明. 　　 对点练5. (多选)设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A具有性质P，下列命题为真命题的是(　　) A.若A具有性质P，则A可以是有限集 B.若A1，A2具有性质P，且A1∩A2≠⌀，则A1∩A2具有性质P C.若A1，A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P D.若A具有性质P，且A≠R，则∁RA不具有性质P 答案：ABD 解析：对于A，取集合A具有性质P，故A可以是有限集，故A正确；对于B，取x，y∈A1∩A2，则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，所以x＋y∈A1，xy∈A1，x＋y∈A2，xy∈A2，所以x＋y∈A1∩A2，xy∈A1∩A2，所以A1∩A2具有性质P，故B正确；对于C，取A1，A2，2∈A1，3∈A2，但2＋3∉A1∪A2，故C错误；对于D，若A具有性质P，且A≠R，假设∁RA也具有性质P，设0∈A，在∁RA中任取一个x，x≠0，此时可证得－x∈A，否则若－x∈∁RA，由于∁RA也具有性质P，则x＋0∈∁RA，与0∈A矛盾，故－x∈A，由于A具有性质P，∁RA也具有性质P，所以∈A，x2∈∁RA，而x2，这与A∩∁RA＝⌀矛盾，故当0∈A且A具有性质P时，∁RA不具有性质P，同理当0∈∁RA时，也可以类似推出矛盾，故D正确.故选ABD. [真题再现]　1.(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案：D 解析：因为A，B，所以B，则A∩B，∁A.故选D. 2.(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 答案：A 解析：由题意可得M∪N＝{x｜x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x｜x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x｜x≥1}，则N∪∁UM＝{x｜x＞－1}，选项B错误；M∩N＝{x｜－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x｜x≤－1，或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x｜x≤－1，或x≥2}，则M∪∁UN＝{x｜x＜1，或x≥2}，选项D错误.故选A. 教材呈现　1.(人教A必修一P14T1)集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B. 2.(人教A必修一P14T4)已知集合A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 点评：这两道高考题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题考查角度完全相同，只不过换了集合，对于此类问题一定要注意不等式中端点的开闭. 学科网（北京）股份有限公司 $