28.2.2 应用举例（第1课时 仰角俯角)（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦仰角俯角的应用，通过神舟九号与天宫一号对接视频导入实际问题，衔接已学的解直角三角形知识，引导学生将实际问题抽象为数学模型，构建从生活到数学的学习支架。 此资料以航天等真实情境培养数学眼光，通过无人机测高楼、雷达站追踪飞船等典例变式训练，渗透数学建模与数形结合思想，发展推理意识与模型意识。帮助学生提升知识应用能力，为教师提供系统教学资源，高效落实核心素养。

28.2.2 应用举例（第1课时 仰角俯角) 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十八章 锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用，内容包括：仰角俯角. 2.内容解析 本节课的内容是在学生学习了利用三角函数解直角三角形的基础上，深入探究解直角三角形在实际问题中的应用。本节课，我们将通过具体的应用实例，学会如何运用仰俯角的知识来解决直角三角形的问题。这不仅是数学知识的巩固，更是实际应用能力的提升。通过图形直观地理解仰俯角和直角三角形的关系，不断强化直观想象能力。在这一节中，我们将学习如何利用勾股定理来解直角三角形，包括求解三角形的边长和角度。这些知识不仅能够帮助我们解决实际问题，还能为后续学习打下坚实的基础。教学内容与学生已有知识的联系非常紧密。在此之前，我们已经学习了勾股定理的发现和证明，以及直角三角形的性质。这些知识为本节课的学习提供了必要的背景和基础。通过本节课的学习，学生将能够将已有的知识运用到实际问题中，进一步巩固和拓展他们的数学思维。 基于以上分析，本节课的教学重点是: 能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）.能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题; （2）.在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想; （3）.利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 2.目标解析 （1）教材由问题引入，并引导学生通过观察、推导等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣； （2）培养学生对解直角三角形在实际问题中的理解和运用能力，对不同类型的与仰角俯角有关的解直角三角形的方法形成正确的认识； （3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. 三、教学问题诊断分析 首先，九年级的学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何知识和解题能力。他们对直角三角形和角度的概念有了基本的理解，这是学习仰俯角解直角三角形的基础。而学生们在这一阶段可能存在以下特点：一方面，他们的抽象思维能力逐渐增强，能够从具体事例中提炼出数学规律；另一方面，他们在解决复杂问题时，可能会遇到逻辑推理上的困难，尤其是在处理实际问题与数学模型之间的转换时。在行为习惯方面，学生们在课堂上通常积极参与，但有时可能缺乏耐心，面对难题时容易放弃。此外，部分学生可能对数学应用题的兴趣不高，这可能会影响他们对本节课的学习热情。 基于以上分析，本节课的教学难点为: 在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想. 四、教学过程设计 （一）情景导入 观看视频 问题思考：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为，取 ，结果取整数)？ 解：设，是切线，是直角三角形． ∵ ∴ ∴的长为() ∴当组合体在点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离点约. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) 【设计意图】通过观看视频，感受中国航天飞速发展增强民族自豪感，也让学生理解数学来源于生活服务于生活. （二）新知探究 仰角俯角的定义： 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫作俯角. 【设计意图】通过定义讲解让学生理解仰角俯角的概念，并能在图形中辨认仰角俯角. （三）典例讲解 例1.(1)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，无人机与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼的高度 解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵, , 在中,m， 在中,m， ∴m. 例1.(2)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的俯角为，看这栋高楼底部的俯角为，若无人机的高度为120m，求这栋高楼的高度 解:过点作地面的垂线于点,过点B作⊥于E ∵ , ∴在中,， ∵,∴ 在中,， ∵, ∴,即这栋高楼的高度为 例1.(3)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的俯角为，看这栋高楼底部的俯角为，这栋高楼的高度为120m，求无人机与高楼的水平距离 解:过点作延长线的垂线,垂足为，设 ∵ , ∴在中,， 在中,， ∵ ∴,即无人机与高楼的水平距离为 例2.如图，2024年4月25日，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射．当飞船到达处时，地面处的雷达站测得，仰角为．后，飞船直线上升到达处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知点在同一直线上，两处相距460m，求飞船从处到处的平均速度（结果精确到，参考数据：） 解：∵．在中，， ∴． ∵，∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴飞船从处到处的平均速度约为 例3.如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，求教学楼的高度．(注：点，，，在同一平面上，，，结果取整数) 解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, ∵米，，， 设米，∴米 在中，，∴(米)， 在中，，∴米， ∴,解得:， ∴(米)，(米)， 在中，，∴(米)， ∴(米)． 解直角三角形常见类型 方法点拨：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 归纳总结： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 【设计意图】通过例题讲解让学生学会利用仰角俯角从实际问题中抽象出数学模型，从而培养数学抽象能力，引导学生运用几何知识解决实际问题，进一步提升逻辑推理能力，增强数学建模意识，让学生体验数学与生活的紧密联系. （四）变式训练 1.如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，求两栋教学楼之间距离．（保留根号） 解：过点作，交于点，∴， ∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米，∴， ∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴， ∴，， ∴米. 2.如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据) 解：由题意得：，米，设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米，，解得：， （米， 建筑物的高度约为16米. 3.如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，求商业大厦的高度 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 4.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 解(1)：如图①，过点作，垂足为． 在中，． ， ∴点到墙面的距离约为． (2)：如图②，过点作，垂足为， 由题意，得． ，． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 【设计意图】巩固学生利用仰角俯角解决实际问题，学会构造直角三角形解决问题. （五）拓展探究 1.“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米）， （米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； (2)如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 2.某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了3米．求匾额悬挂的高度．( ，结果取整数) 解：过点C作于点F，过点C作于点H， 如图所示：则四边形是矩形， 所以， 在中，米，， 所以(米)，(米)， 在中，，所以， 所以， 在中，，所以， 因为，， 所以，解得米； 答：匾额悬挂的高度约是4米． 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的综合能力. （六）当堂巩固 1.如图,为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（  C  ）m A． B． C． D． 2.如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为________ 3.在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为___14m______（结果保留整数）． 参考数据：，，，） 4.如图，某翼装飞行员从离水平地面高米的处出发，沿着俯角为度的方向直线滑行米到达点，然后打开降落伞以度的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离． 解:如图,过点作,作,垂足分别为,， 由已知可得，， ，四边形是矩形，即． 在中，，． ， ， ，． 在中，， 米． 运动员飞行的水平距离约为米． 5.如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 解：如图：延长交于点，延长交于点, ∴，,米， 米，(米), 在中，， (米), ∵点是的中点，米， 在中， ，(米), (米), ∴综合楼的高度约为米． 【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题. （七）小结梳理 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握. （八）布置作业 P71 练习1、2题. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $