精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

复旦大学附属复兴中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 两个平面最多可以将空间分成__________部分. 【答案】4 【解析】 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 2. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案. 【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱 其底面半径 高 根据柱体体积公式: 故答案为. 【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题. 3. 已知一球的体积为，则该球的表面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用球的体积公式和球的表面积公式求解即可. 【详解】由球的体积公式可得：， 所以再由球的表面积公式可得：， 故答案为：. 4. 如图，已知长方体的棱长，，则点A到棱的距离是______cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的性质，结合线面学会知性质定理以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连接，作图如下： 在长方体中，平面，平面，， 则点A到棱的距离是， 在矩形中，， 故答案为：. 5. 如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由直观图概念，可将矩形还原为平面图形，据此可得答案. 【详解】由直观图概念，可得平面图形满足：，，据此可得平面图形如下. 由题，，则， 则的周长为. 故答案为： 6. 如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条． 【答案】6 【解析】 【分析】根据异面直线的判定依次写出与直线成异面直线的直线即可得解. 【详解】正方体的所有棱中， 其所在的直线与直线成异面直线有： 共6条. 故答案为：6 7. 空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积___________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，先求出，再利用点到直线的距离的向量公式求中边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可. 【详解】不妨设，则， 且，与同方向的单位向量为，， 则中边上的高， 故的面积为. 故答案为：. 8. 如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用内接圆柱结合勾股定理可得，再由基本不等式可得最大值时，从而可得表面积. 【详解】设内接圆柱的半径为，高为， 则由题意可得：， 该圆柱的侧面积为， 当时，上式等号成立， 则当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于， 故答案为：. 9. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________. 【答案】9 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，即求. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为r，则， ∴. 故答案为：9. 10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解． 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵中，，平面, 对于①：因为平面，平面，， 又，，所以平面，且四边形为矩形， 所以四棱锥为“阳马”，故①正确； 对于②：由且，所以平面， 所以，故和为直角三角形. 由平面，得和为直角三角形， 所以四面体为“鳖臑”，故②正确； 对于③：在中，，，故， ，当且仅当时取等号. 所以四棱锥体积，最大为，所以③不正确； 对于④：由平面，所以，又，且 所以平面，所以，又， 所以平面，则，所以④正确． 故答案为：①②④ 11. 从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，结合余弦定理求得所求的最小的夹角. 【详解】不妨设，与夹角，与夹角，与夹角， 画出图象如下图所示， 其中的角平分线分别是， 则分别是的中点， 中，， 中，，， 中，， 利用余弦定理可得， 同理可得， 所以最小角的余弦值为，， 也即最小角为. 故答案为： 12. 如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，先作出平面截八面体的截面为，建立空间直角坐标系，用点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长，再计算两部分的体积即得答案. 【详解】正方体的六个面的中心为顶点构成的八面体中中间和上方的顶点分别为，如图， 分别过作侧棱的平行线，分别与交于点，分别与交于点，得到矩形， 依题意，为的中点，为的中点， 在矩形中，分别交于点，则分别为的中点， 平面，则平面， 将平面延展与交于点，于是平面截八面体的截面为， 显然与相交于的中点，设为，则三点共线， 在中,过作，如图，可得为的一个三等分点， 设正方体的棱长为2，则， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 则点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长，， 又，即，， ，， 因此八面体在平面平面下方的部分的体积为， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 二、选择题（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】C选项可用线线平行的条件进行判断；A，B选项可用面面位置关系判断，D选项由线面垂直的性质判断面面平行． 【详解】A选项不正确，因为平行于同一平面的直线和平面是平行或线在面内，故不正确； B选项不正确，垂直于同一平面的两个平面可能相交或平行，故不正确； C选项不正确，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行，相交或者异面，故不正确； D选项正确，因为垂直于同一直线的两个平面的位置关系是平行的，故正确； 综上，D选项正确 故选：D． 14. 已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面定理逐一判断选项中的三个向量是否共面即可得出结论. 【详解】由向量是空间的一组基底可知不共面， 对于A，易知，即，，共面，可得A错误； 对于B，易知，即，，共面，可得B错误； 对于C，不存在实数对满足，因此，，不共面，可以作为基底，即C正确； 对于D，易知，即，，共面，可得D错误. 故选：C 15. 如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为， 所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②． 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面，，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 因二面角的大小为，， 而，， 因为平面，平面，故， 而，则， 在中，， 则，故， 即三点共线，且是的中点， 则，故①是真命题； 又因为， 则点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的劣弧， 故轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 三、解答题（本大题共5题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分） 17. 如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出后结合数量积为可判断它们垂直； （2）求出平面、平面的法向量后可求它们夹角的余弦值，故可求二面角的大小. 【小问1详解】 不妨设正方体边长为，以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 从而，. 由于，故，所以异面直线和所成角的大小为 【小问2详解】 由（1），，，，. 设平面的一个法向量，则. 令，则，，故． 同理：平面的一个法向量，故. 由于朝向二面角的外部，朝向二面角的内部，故二面角的余弦值为，从而其大小为． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直性质得，根据已知可证，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H，由面面垂直的性质有面PAM，即BH的长为B到面PAM的距离，等面积法求长度即可. 【小问1详解】 因为底面，平面，所以. 底面为矩形，且，，则， 所以Rt△Rt△，易知. 又，面，所以平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 设AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H， 由①知，面面PBD，面面，且面， 因此面PAM，线段BH的长为点B到平面PAM的距离. 由，解得. 因此点B到平面PAM的距离为. 19. 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． （1）是否可能是的垂心，请说明理由 （2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2） 【解析】 【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心； （2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 所以为所求的与平面所成角大小， 取中点，连结， 不妨设，则：， 因为平面，所以：， 又因为底面，所以， 所以在三角形中，有， 所以，所以，又， 所以， 所以与平面所成角大小为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角； （3）利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围. 【小问1详解】 平面，且，平面， ，， ，，且，平面， 平面， 平面， 平面平面， 是中点，且， ，， 平面平面，平面， 平面， 点到平面的距离； 【小问2详解】 由，可知，，两两垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又易知平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值为； 【小问3详解】 设，， 又是中点，则， 即，，，， 所以， 设平面法向量， 则，令，得， 则，， 所以直线与平面夹角满足， 当时，， 当，，且， 所以， 综上所述， 因为，所以. 21. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设先证明和，由线线垂直推出平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）由（1）易得即为二面角的平面角，先证明平面，得到，在中，利用三角函数的定义和反三角函数即可求得； （3）根据（1）、（2）两题结论，易得，设，有，可得.过点作的垂线，垂足为，证明平面得到，借助于直角三角形求出，将上述结论代入中，整理成关于的正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其最大值. 【小问1详解】 如图，因为，所以，连接， 因，，则为等边三角形 又点为棱的中点，故，因平面， 故平面，因面，故. 【小问2详解】 由（1）得：，， 则即为二面角的平面角 因为边长为2的等边三角形，则， 由，可得， 又，平面，故平面， 因平面，则 在中，因， 则. 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 由（1）、（2）得：，因平面， 则得平面，又平面 则可得，且，设，则， 过点作的垂线，垂足为，因平面平面则 因平面，故平面，所以， 在中，，在中，， 在中，，在中，， 所以 （其中是锐角，满足） 由题意，是线段上的一动点，且， 在中，，则 因，则，即 故当时，即时， 取得最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属复兴中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 两个平面最多可以将空间分成__________部分. 2. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 3. 已知一球的体积为，则该球的表面积为___________ 4. 如图，已知长方体的棱长，，则点A到棱的距离是______cm. 5. 如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________． 6. 如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条． 7. 空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积___________ 8. 如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 9. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________. 10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 11. 从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是_________． 12. 如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则__________. 二、选择题（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15. 如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分） 17. 如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． （1）是否可能是的垂心，请说明理由 （2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 21. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $