北京市工业大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 3. 已知，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 5. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中： ①； ②； ③； ④ 其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（ ） A. B. 8 C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ） A. 椭圆是“黄金椭圆” B. 若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆” C. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆” D. 设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆” 10. 2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo．新Logo将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中错误的是（ ） A. 对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B. 当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C. 当时，曲线围成的图形面积可以为2 D. 当时，曲线上的点到原点最近距离为 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 圆的半径为_________ 12. 已知直线与互相平行，则他们之间的距离是__________. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，则的周长为______． 14. 点到直线的最大距离为______． 15. 双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为_____ 16. 如图，在棱长为1的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：______．（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． （1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 椭圆短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 20. 如图，在三棱柱中，侧面底面，底面为等腰直角三角形，为中点. （1）求证:； （2）再从以下条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①:；条件②:. 21. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）点P不在圆上，证明见解析 （2）x＝0或3x＋4y－8＝0． 【18题答案】 【答案】（1） ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； （2） （3） 假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设， ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 【19题答案】 【答案】（1） （2）． 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $