16.3乘法公式 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3乘法公式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．若完全平方式，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．为任意实数，已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 4．计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 6．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 8．如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 二、填空题（满分24分） 9．填空：( )． 10．若是完全平方式，则a＝ ． 11．计算： ． 12．已知，．则的值是 ． 13．已知实数满足，则的值为 ． 14．若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积 ．（填变大、变小或不变） 15．小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ． 16．如图，有正方形卡片类9张，类4张和类5张，如果要拼一个边长为的大正方形，则还需要类卡片 张． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)； 18．用乘法公式进行简便计算 (1) (2) (3)； (4)． 19．计算：． 20．运用乘法公式计算． (1)； (2)． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 23．知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：设，则， ∴，即． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，一户人家有一块长方形土地，其内部有一条宽度为a的L型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为340；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了平方差公式． 根据平方差公式的结构特征，即两数和与两数差的乘积，需满足一项完全相同，另一项互为相反数．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：可变形为，即，不符合平方差公式； 选项B：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项C：既无相同项也无相反项，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：D 2．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．通过展开完全平方式并比较对应项的系数，求出a和b的值，再相加即可． 【详解】解：将左边展开得：， 右边为：， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查的是整式的加减和完全平方公式，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 通过作差法比较A与B的大小，计算并分析其符号． 【详解】解：， 则， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键． 根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5． 【详解】解： … ． ∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现． ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选C． 5．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算化简出结果，由此即可得． 【详解】解：原式 ， 由此可知，若为任意整数，则的值总能被20整除， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了完全平方公式，设，则，代入原式整理可得答案． 【详解】解：设，则 代入原等式得： 展开并合并同类项： 移项化简得：， ∴ ∴， 故选B． 7．D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答． 【详解】解：左图可得阴影部分面积为：， 右图可得阴影部分面积为：， 所以， 故选D． 8．B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据图形特征，得，结合，，据此计算即可作答． 【详解】解： 由题意可知： ， ∵，， ∴． 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，并能准确找出公式中的和是解题的关键．根据平方差公式，对进行变形，找出与对应的另一个因式． 【详解】解：． 故答案为：． 10．或 ． 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，所以可得，解方程即可求出的值． 【详解】解： 是完全平方式， ， ， 或． 故答案为：或 ． 11． 【分析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查完全平方公式，根据将变形为，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：5． 13．9 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握利用平方根解方程是解题关键．设，则可得，利用平方根解方程可得或，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， 又∵， ∴， 即， 故答案为：9． 14．变小 【分析】本题考查了用平方差公式计算实际问题，解题关键是掌握用平方差公式． 分别求出改造前后花园的面积，比较后作出判断即可． 【详解】解：边长为a米（）的正方形的面积为（米2）， 把边长为a米（）的正方形花园一边增加10米，一边减少10米．则改造后花园的面积为， 所以改造后花园的面积变小． 15．/ 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，关键是熟练掌握图形的面积与公式的关系． 利用完全平方公式，结合图形，即可得到答案． 【详解】解：边长为的正方形面积为， 图形面积为，图形面积为，图形面积为， 有正方形卡片类9张，类4张和类5张，如果要拼一个大正方形，则还需要类卡片张， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式，平方差公式的应用； （1）直接利用完全平方公式进行计算即可； （2）直接利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； 18．(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式； （4）解：原式． 19．2 【分析】设，则 ，解答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设， 则 ， ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 22．（1） （2） （3） （4）； （5） 【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 23．(1) (2)阿凡提没有损失，解释见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）由题意得，，，，分别计算长方形的面积和正方形、正方形的面积，进行比较可得阿凡提有没有损失． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）阿凡提没有损失．解释如下： 由题意得，，，， ∵，， ∴长方形的面积为：， 正方形、正方形的面积的和为： ， ∵， ∴阿凡提没有损失． 学科网（北京）股份有限公司 $