16.3.2完全平方公式 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3.2完全平方公式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，则的值为（    ） A．8 B． C． D．4 2．若，则与的关系一定是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 3．，， 则的值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 4．设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．已知，则的值是（   ） A．36 B．49 C．54 D．64 6．如果把一个正方形的一组对边加长，再把另一组对边减少，这时得到的长方形的面积与原正方形的边长减少后的正方形的面积相等，原正方形的面积为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 7．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，那么阴影部分的面积是（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ． 10．若恒成立，则 ． 11．若，，则 ． 12．若．则 ． 13．设．若，则 ． 14．将个数排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 15．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 16．如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形 的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知． (1)求和的值． (2)求的值． 19．解不等式：． 20．运用乘法公式计算： (1)； (2)． 21．先化简，再求值：，其中， 22．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 23．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 参考答案 1．解：∵，， ∴， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了倒数的定义，完全平方公式，利用完全平方公式把右式展开，化简得到，再根据倒数的定义即可判断求解，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与的关系一定是互为倒数， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，将化为，代值计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； ，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了完全平方公式的灵活运用，解题的关键是通过设未知数将原式转化为含相同变量的平方形式，再利用完全平方公式展开求解． 设，则；将其代入已知等式，利用完全平方公式展开得到关于的方程；解方程求出的值，即的值． 【详解】解：设，则． 已知，代入得：． 展开得：， 合并同类项得：， 化简得：，即． 所以． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了完全平方公式及平方差公式的应用，明确题意，找准等量关系是解题的关键．设原正方形的边长为，则所得到的长方形的长为，宽为，根据面积相等列方程求解． 【详解】解：设原正方形的边长为，则所得到的长方形的长为，宽为，所得到的正方形的边长为． 根据题意得，． 整理，得， 即． 解得． 所以． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据，求出的值，再根据 进行计算即可． 【详解】解∶ ，， ． ， ． 由题意得：，， 故选∶C 9．1或 【分析】此题考查了完全平方公式和一元一次方程的应用，根据是一个完全平方式得到，解方程即可得答案． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：1或 10． 【分析】先将等式右边的式子展开并整理，然后根据等式恒成立时对应项系数相等，求出、的值，进而计算．本题主要考查等式恒成立的条件及多项式相等的性质，熟练掌握“等式恒成立时对应项系数相等”是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴ 解得，． ． 故答案为： ． 11．9 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．将，变形为，，再把变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：9． 12． 【分析】本题给出两个关于、与的等式，要求的值．解题思路是将两个等式相加，然后通过因式分解的方法，将式子转化为含有的形式，进而求出的值．本题主要考查了因式分解以及平方根的概念，熟练掌握完全平方公式以及平方根的求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．27 【分析】本题考查完全平方公式的运用，找到a、b、c之间的关系是解答的关键．先根据已知得到，，进而得到，然后利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：，，， ，． ， ，即， ∴， ． 故答案为：27． 14． 【分析】本题考查了完全平方公式，根据新定义得出，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查完全平方公式的运用，熟记公式内容是此题关键．根据各种纸片数量，不超过张，写出完全平方公式． 【详解】①，即可以用、正方形纸片各张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形； ②，即可以用正方形纸片张，纸片张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形： ③，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ④，即可以用正方形纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑤，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑥，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形． 综上所述，共有种不同的正方形． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，根据完全平方公式得出，求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式解答即可； （2）利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，完全平方公式的应用. （1）先结合，故，可得，因为，得，故． （2）把化为，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：，， ，， ，， ． （2）解：∵，， ∴ . 19． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤． 先利用整式的混合运算法则化简，再根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 所以原不等式的解集为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．，1 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式，化简求值，正确掌握相关性质是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 22．(1)大， (2)9 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，结合完全平方的非负性，进行求解即可； （2）将转化为两个完全平方的和等于0的形式，非负性求出的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，该多项式的最值是22； （2）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 23．(1) (2) (3)576 【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积两个小长方形的面积，可得关系式； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解． 本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式，解题的关键是灵活进行数形结合来分析． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 学科网（北京）股份有限公司 $