16.3.1平方差公式 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3.1平方差公式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 5．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（   ） A． B． C． D． 6．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 7．计算的结果为（   ） A．0 B． C． D． 8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 二、填空题（满分24分） 9．填空：( )． 10．若，，则 ． 11．若计算的结果不含字母x的一次项，则 ． 12．计算： ． 13．已知，则 ． 14．化简： ． 15．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 16．如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为 ．（用含a，b的式子表示） 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)． 19．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 20．若，求的值． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．已知下列等式： ； ； ；… 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 23．乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 参考答案 1．解：A、，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行计算，选项符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，选项不符合题意． 故选：B． 2．解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 3．解：A．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； B．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； C．与原式不相等，不符合题意； D．符合平方差公式的结构特征，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可． 【详解】解：，即， ∴． 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，掌握知识点是解题的关键． 由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，进而可以证明平方差公式，即可解答． 【详解】解：∵图①中大正方形的面积减去小正方形的面积为，图②中矩形的面积为， ∴． 故选A． 6．D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方,同底数幂的乘法．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解： …… ， ∵， ∴每4个为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式：进行计算． 【详解】解： ． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键． 根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数是和（其中取正整数）， ， 由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数． 58、60、62都不是8的倍数， 它们不是“创新数”， 64是8的倍数，且， 64是“创新数”． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，并能准确找出公式中的和是解题的关键．根据平方差公式，对进行变形，找出与对应的另一个因式． 【详解】解：． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用， 根据平方差公式得，再结合代入可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 则． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，平方差公式． 先由多项式乘多项式法则得，再根据结果不含字母x的一次项，得，即可得，再代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， ∵的结果不含字母x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了平方差公式和积的乘方逆运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 先利用积的乘方逆运算将变形为，再根据平方差公式化简计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用平方差公式逐一计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 15．16 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 16．/ 【分析】此题考查了平方差公式的应用， 根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式． （1）利用平方差公式直接计算即可； （2）利用平方差公式直接计算即可； （3）先利用平方差公式和多项式乘多项式法计算，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式． （1）直接利用平方差公式计算即可． （2）直接利用平方差公式计算即可． （3）先提负号，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 19．(1)9991 (2) 【分析】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．16 【分析】本题考查了平方差公式，先观察式子，得，再整理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 则 ∴． 21．， 【分析】本题考查了整式的化简求值．利用平方差公式进行计算后合并同类项，再代入数据求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．(1)19 (2)1509 (3)见解析 【分析】本题利用平方差公式和观察规律解决问题． （1）根据平方差公式可得出相应的结果； （2）同样利用平方差公式可得出相应的结果； （3）求出比大3的数，再根据平方差公式来证明题目所给的两个数是否能被3整除． 【详解】（1）解：． 故答案为：19． （2）解：． 故答案为：1509． （3）证明：由题意知，比大3的数为， 根据平方差公式，， 由于是整数，因此能被3整除， 即比大3的数与的平方差能被3整除． 23．（1） （2） （3） （4）； （5） 【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 学科网（北京）股份有限公司 $