精品解析：河北辛集中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期第三次阶段考试 高一数学试题 命题教师：张朵 校对教师：张曼熟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（　　） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，若，则（ ） A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上严格单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（，且）对任意非零实数，恒有，且对任意，有，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 二、多选题（全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题：“，”的否定为“，” B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 若幂函数的图象经过点，则（） 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则最小值为 C. 若正数、满足，则的最小值为9 D. 设、为正实数，且，则的最小值为6 11. 设函数的定义域为，对任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”．若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 函数为偶函数 D. 的值域为 第Ⅱ卷 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数在上有最大值3，最小值1，则实数的取值范围为______. 13. 已知是定义在上奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________. 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若命题“”为假命题，求实数的取值范围； （3）若，解关于不等式． 17. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 18. 已知定义在上奇函数，且. （1）求，的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第三次阶段考试 高一数学试题 命题教师：张朵 校对教师：张曼熟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，得，所以， ， 所以. 故选：D. 2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可． 【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误； 对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误； 对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误； 对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确． 故选：D 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式求的解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数，若，则（ ） A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，代入得到方程，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】若，则，解得或2（舍去）， 若，则，解得（舍去）， 综上，. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域，结合偶次方根和分母有意义列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，要使有意义，则，即， 又，即，所以的定义域为. 故选：C 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于或，结合图象求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 函数在上严格单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性限定出不等式即可得出结果. 【详解】由题意得， 要使得在上严格单调递增，则，解得. 故选：A. 8. 设函数（，且）对任意非零实数，恒有，且对任意，有，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知推导出是偶函数且在上为单调递减函数，再应用偶函数、单调性求不等式的解集. 【详解】对任意非零实数，恒有， 令，则，可得， 令，则，可得； 取，，则，得， 又函数的定义域为，则函数是偶函数； 任取，且，则， 由对任意，有，则， ∴， ∴，即函数在上为单调递减函数， 由，可得， 得或，解得或. 故选：B 【点睛】关键点点睛：推导出是偶函数且在上为单调递减函数为关键. 二、多选题（全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题：“，”的否定为“，” B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 若幂函数的图象经过点，则（） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断A；利用根与系数的关系判断B；求解分式不等式判断C；先代入求出幂函数，再进行不等式的判定. 【详解】对于A，：“，”的否定为“，”，故A正确. 对于B，方程有一正一负根的充要条件是 ，解得，故B正确； 对于C，不等式等价于，即， 即，即为，解得， 所以原不等式的解集为，故C错误； 对于D，由题意，故， 若，则，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则最小值为 C. 若正数、满足，则的最小值为9 D. 设、为正实数，且，则的最小值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值即可判断A；分离常数后，利用基本不等式可判断B；利用常数代换法可判断C；代入消元后，利用基本不等式可判断D. 【详解】A选项，若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以不是的最大值，故A错误； B选项，， 因为，所以，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C选项，正数、满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立，C错误； D选项，、为正实数，且，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，正确. 故选：BD 11. 设函数的定义域为，对任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”．若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 函数为偶函数 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，做出函数的草图，数形结合，可判断各选项的真假. 【详解】由. 所以，图象如下： 所以，故A正确； 由图可知在不减函数，故B错误； 将函数的图象向左平移1个单位，图象关于轴对称，即是偶函数，故C正确； 因为，当时，，即的值域为，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数在上有最大值3，最小值1，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】做出的图象，易得，观察图象即可求解. 【详解】如图，，关于对称，且，， 要使函数在上有最大值3，最小值1，只需. 故实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________. 【答案】或. 【解析】 【分析】先求出时的解析式且，分，和，解不等式，求出答案. 【详解】当时，，故， 因为是定义在上的奇函数， 所以，故，所以， ，满足， 当时，令，解得，故， 当时，令，解得或，故， 综上，的解集为或. 故答案为：或. 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意， ，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意， 根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数， 由可知定义域为， 由，可得， 所以， 即，解得或， 故答案:. 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 16. 已知函数，． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若命题“”为假命题，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数的值. （2）先求若命题为真命题，即恒成立时的取值范围，再求其补集即可. （3）分情况讨论，解含参数的二次不等式. 【小问1详解】 由不等式的解集为或， 可得方程的根为和1，, 由韦达定理可得，， 解得，所以. 【小问2详解】 若命题为真命题，可得恒成立 当时，显然不满足条件， 当时，可得，解得 由于命题为假命题，故的范围为． 【小问3详解】 由，不等式为，即 当时，即时，不等式的解集为； 当，即时，解集为； 当时，即时，不等式的解集为． 综上：时，不等式的解集为； 时，解集为； 时，不等式的解集为． 17. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】（1）左面墙的长度为10米 （2） 【解析】 【分析】（1）设甲工程队的总报价为元，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论； （2）根据题意可得出，可知，对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当时，即时，等号成立 故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 【小问2详解】 解：由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当时，即时，取最小值， 则，即的取值范围是. 18. 已知定义在上的奇函数，且. （1）求，的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，单调递增，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义求解函数解析式，利用单调性的定义证明函数的单调性； （2）利用奇函数和单调性求解不等式； （3）先求出函数的最大值，则对恒成立，则，求解即可. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，整理得，解得， 又因为，解得，可得； 在上单调递增，证明如下： 对于任意，，且， ，， 即，， 在上单调递增，得证； 【小问2详解】 由是奇函数，则不等式可整理成， 因为是定义在的连续奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数， 则，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 由题意知对，恒成立， 因为， 所以对恒成立， 即，得或或， 所以的取值范围为. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由知，，根据易求的值； （2）根据题意，要证函数图象的对称中心为 ，只需证，其中是奇函数； （3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴，∴； ∵函数为奇函数，∴函数图象关于点对称， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 ∵， 令，则 ∵，定义域关于原点对称，， ∴为奇函数. ∴函数图象的对称中心为 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，∴， ∴，∴∴，， ∴函数有对称中心，∴， 令，， 相加得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $