精品解析：上海市建平中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

建平中学2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字将答案填写在答题卡上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 复数的虚部是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的概念求解。 【详解】复数的虚部为：， 故答案为： 2. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 3. 复数，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 4. 椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程求得，即可求解. 【详解】由，可知：， 即，， 所以长轴长为， 故答案为： 5. 直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】又的法向量可设出的一般方程，再将点代入计算即可得. 【详解】由的一个法向量，可设， 则有，解得，即直线的方程为. 故答案为：. 6. 已知直线，，则与的夹角大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两条直线的倾斜角，进而求出它们的夹角. 【详解】直线的斜率为1，则倾斜角； 直线的斜率为，倾斜角， 所以与的夹角. 故答案为： 7. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值. 【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则有，得， 方程的另一个虚数根为，所以. 故答案为：4 8. 设，点在轴上，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为. 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 9. 若复数满足，则的最大值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】，由椭圆的定义得到点的轨迹方程为：，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】设， 则， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：， ，即椭圆上的点到上焦点的距离， 由椭圆的性质可知：，当点在椭圆下顶点时取得最大值， 所以的最大值为6， 故答案为：6 10. 如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据以为直径的圆与C交于点B，得到，再由，设，，，然后利用双曲线的定义和勾股定理求解. 【详解】因为以为直径的圆与C交于点B， 所以，. 设， 则，. 因为A，B是C上的点， 所以， 则，. 在中，，即， 则， 所以C的离心率为. 故答案为： 11. 如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】以小齿轮的圆心为原点建系，由于点与点处转过的弧长相等,结合半径长的比值及弧长公式可设点与点转过的圆心角分别为、，利用三角函数的定义可以得出点与点的坐标，再用距离公式可构建两点之间距离的函数，求解最值即可. 【详解】设小齿轮和大齿轮圆心分别为, 则以为原点为轴，过点作的垂线为轴， 建立如图所示平面直角坐标系， 设点转过的圆心角为， 点与点处转过的弧长相等, 点转过的圆心角为， 则，即, 当时取得最小值为， 故答案为：. 12. 已知实数满足，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由，令，由直线与有公共点，求得的范围，结合对勾函数单调性求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 令，则， 由直线与有公共点， 得，解得， 则， 令， 由对勾函数的单调性可知在单调递增， 所以在单调递增， 当时，， 所以， 所以， 即的取值范围为， 综上的取值范围为， 故答案为： 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 点在椭圆上 B. 点在椭圆内 C. 点在椭圆外 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 14. 已知复数z满足，则复数z的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入，由复数相等的条件列等式即可求解. 【详解】设， 复数满足， ， 化为， 解得，或， ，或1，或. 故选：D. 15. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】通过设点坐标，根据点的对称、三角形的性质、椭圆的性质，逐个判断即可. 【详解】设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式. 所以. 又因为， 所以. 又，所以. 所以曲线关于原点对称，所以①正确； 当点与点不共线时，根据三角形性质可得 ，由得， 解得. 所以. 根据椭圆的性质可知点在椭圆的内部. ②正确， 故选：A 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 18. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 19. 在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知（单位：弧度制），设栈道总长度为（单位：米）． （1）求函数并写出其定义域； （2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）． 【答案】（1） （2）故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 【解析】 【分析】1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 【小问2详解】 建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. . 20. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． （1）直接写出椭圆和双曲线的离心率， （2）已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： （3）已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 【答案】（1）椭圆离心率为，双曲线离心率为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的方程求得a，b，c求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； 【小问2详解】 设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，或， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立，综上直线l的方程为 【小问3详解】 因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为. 21. 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以 ， 所以不存在“特征点”，所以. 【小问2详解】 设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以 ， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. 【小问3详解】 因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得 ，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为 ， 所以 ，即 ， 设， 则有 ， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设 ，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字将答案填写在答题卡上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 复数的虚部是___________． 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 复数，，则_________． 4. 椭圆的长轴长为___________． 5. 直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________. 6. 已知直线，，则与的夹角大小是________． 7. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 8. 设，点在轴上，则的最小值为___________． 9. 若复数满足，则的最大值为___________． 10. 如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为___________. 11. 如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为____________. 12. 已知实数满足，则的取值范围为___________ 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 点在椭圆上 B. 点在椭圆内 C. 点在椭圆外 D. 不确定 14. 已知复数z满足，则复数z的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 18. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 19. 在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知（单位：弧度制），设栈道总长度为（单位：米）． （1）求函数并写出其定义域； （2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）． 20. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． （1）直接写出椭圆和双曲线的离心率， （2）已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： （3）已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 21. 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $