上海市建平中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

建平中学2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字将答案填写在答题卡上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 复数的虚部是___________． 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 复数，，则_________． 4. 椭圆的长轴长为___________． 5. 直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________. 6. 已知直线，，则与的夹角大小是________． 7. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 8. 设，点在轴上，则的最小值为___________． 9. 若复数满足，则的最大值为___________． 10. 如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为___________. 11. 如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为____________. 12. 已知实数满足，则的取值范围为___________ 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 点在椭圆上 B. 点在椭圆内 C. 点在椭圆外 D. 不确定 14. 已知复数z满足，则复数z的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 18. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 19. 在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知（单位：弧度制），设栈道总长度为（单位：米）． （1）求函数并写出其定义域； （2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）． 20. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． （1）直接写出椭圆和双曲线的离心率， （2）已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： （3）已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 21. 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 建平中学2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字将答案填写在答题卡上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】6 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）或； （2）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 【20题答案】 【答案】（1）椭圆离心率为，双曲线离心率为； （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）； （2）证明见解析， （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $