北京市第九中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北京九中2025一2026学年第一学期期中试卷 高二数学总分150分 班级 姓名 一、选择题共10小思，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项、 1.空间直角坐标系中，已知A(1,23),B(3,2,-5),则线段AB的中点为 A.（-1,-24)B.（-2,0,1) C.（2,0.-2) D.（2,0,-1 2.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,,1),且aLb,那么b1等于() A.0 B.i C.25 D.5 3.己知直线a、b和平面C、B,且b⊥a,那么( ) A.b⊥a,则a/1a B.b不在B内，则a//B C.a/a,则b⊥a D.aLB,则b1IP 4 苕正方体的面对角线长为α，则其体对角线长是（) A.6 2 B. 6。 C. a D.√2a 2 5.已知A(10,1),B(2,4,3),C(5,8,),则这三点() A.构成等腰三角形 B 构成直角三角形 C.构成等腰直角三角形 D.不能构成三角形 D已知长方体ABCD-ABCD,下列向量的数量积一定不为0的是（) A.AB.AD B.ADB.C C.BD.BC D.BD·AC 7.已知m,n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是 A.若m/1a,n//g,则m//n B.若m⊥a,nca,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n//a D.若m//a,m⊥n,则n⊥o 8.长方体ABCD-ABCD中，AB=AA1=2,AD=1,E为CG的中点，则异面直线 D BC与AE所成角的余弦值为(） B 4. o B. 30 c. W15 D.30 10 10 10 10 D 9.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的 交点.若B=a,D=b,AA=c,则下列向量中与BM相 D 等的向量是（） A.号a+6+ 72 B.2a- 2b+c G.82 0.1 1 a+ b-c 2 10.如图，P是边长为1的正方体ABCD一AB1CD1对角线AC上一动点，设AP的长度为x, 若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是 D B P D D 二、填空照共6小题，每小愿6分，共25分. 11.己知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b一 12.如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EP与0N所成角 的余弦值为 【2题】 18.如果向量d=g1-,了=6-8.郭么c0s<d,6 14.在直四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是边长为1的正方形， D1B与平面ABCD所成的角为60？则棱AA1的长为 点 C到平面BDD的距离为 15.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间 图形，其中AD=BD=V2,∠BAC=30°，若它们的斜边 AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法 正确的是 ①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为V2; ②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD: ③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D一ABC的体积最 大可达到 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(15分)已知向量a=(1,-1,2),=(-21,-1),c=(2,-2,1),计算下列各式的值. (I)(a+a)-a: (Ⅱ)25+： (II)cos(ac 11、(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD. M,N分别为棱PD,BC的中点，PA=AB=2. (I)求证：N∥平面PAB: (Ⅱ)求直线N与平面PCD所成角的正弦值. D M 18.（15分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面PABL平面ABC,△VAB为等边三角形 AC⊥BC且AC=BC=√2，O,M分别为AB,VA的中点. （I)求证：B∥平面MOC: (Ⅱ)求证：平面MOC⊥平面VAB; (Ⅲ)求三棱锥V-ABC的体积， 的 19.（14分)如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF=EF, AD⊥ED,CD⊥EA、 (I)求证：CD∥平面ABFE; Ⅱ)若EF=ED,CD=2EF=2,求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小， E D B 20.(16分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD, ABLAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5. (I)求证：PD⊥平面PAB: (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： (Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD? 若存在，求华的值：若不存在，说明理由。 D B 21.(12分)设n为正整数，集合A={a=(,2,,bk∈0，，k=1,2,,}对于集合A 中的任意元素a=(1,2,,x)和B=01,y2,,n),记 M(,)=+乃-l-D+2+%-五-hD++(.+-x,-y.D]. (I)当n=3时，若a=A,1,0),B=(0,11),求M(a,a)和M(a,)的值； (I)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素a,B,当a,B相同 时，M(a,)是奇数：当a,B不同时，M(,B)是偶数.求集合B中元素个数的最大值. 北京九中2025一2026学年第一学期期中试卷答案 高二数学 总分150分 班级 姓名 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1 2 4 5 6 7 9 10 D Q A D B 9 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b=10.0.4 12.如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角 1 的余弦值为 2 【12题】 13.如果向量a=(2,1,-2),b=(6,-3,2),那么c0s<a,b>= 5 21 14.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形， DB与平面ABCD所成的角为60°，则棱AA1的长为 6 点C到平面BDD1的距离为 2 D 15.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间 图形，其中AD=BD=V2,∠BAC=30°，若它们的斜边 AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法 正确的是①③ ①当平面ABDL平面ABC时，C、D两点间的距离为V2: ②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD: ③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D一ABC的体积最 大可达到3 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(15分)已知向量a=(1,-1,2),万=(-2,1，-1)，c=(2,-2,1),计算下列各式的值， (I)(a+ca;12 (I)23+d:5 (m co位，司9 17.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD, M,N分别为棱PD,BC的中点，PA=AB=2. (I)求证：N∥平面PAB; (IⅡ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值. (I)证明：MN‖平面PAB 1.作辅助线：取PA中点Q,连接MQ、QB。 2.证MQ I BN且MQ-BN: o因M、Q分别为PD、PA中点，由三角形中位线定理得：MQ‖AD,MQ-AD。 O底面ABCD为正方形，N为BC中点，故BN∥AD,BN=BC=号AD。 o因此MQ BN且MQ=BN。 3.证四边形为平行四边形： 由一组对边平行且相等，得四边形MQBN是平行四边形，故MN‖QB。 4.证线面平行： 因QBC平面PAB,MN￠平面PAB,由线面平行判定定理得：MN‖平面PAB。 (Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值 1.建空间直角坐标系： 以A为原点，AB、AD、AP为x、、z轴，坐标如下：A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,1,0). 2.求向量 。直线MN方向向量：MN=(2,0,-1). 。平面P℃D内向量：CD=(-2,0,0),PD=(0,2,-2)。 3.求平面P℃D法向量 i.CD=-2x=0 设法向量m=(x,,2),则： m PD=2y-2z=0 令y=1,得m=(0,1,1) 4.计算线面角正弦值 设线面角为0，由公式sin0= MNm M 。M.=12×0+0×1+(-1)×1=1: 。M=√22+02+(-1严=V5,m=V02+12+12=V2: 。代入得：i血0=75=细。 18.(15分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC,△AB 为等边三角 形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O,M分别为AB,A的中点. (I)求证：B∥平面MOC; (Ⅱ)求证：平面MOC⊥平面AB: (Ⅲ)求三棱锥V-ABC的体积. (1).O,M分别为AB,VA的中点， ○ ..OM//VB, .:VBt平面MOC,OMc平面MOC, ∴.VB/平面MOC; (2）.AC=BC,O为AB的中点， .OC⊥AB, ·.平面VAB⊥平面ABC,OCC平面ABC, ∴.OC⊥平面VAB, ·.·OCc平面MOC, .平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2 .AB=2,OC=1, ∴.S△VAB=V3, .OC⊥平面VAB, ∴.Vc-VAB= C.SAVAB-3 3 ∴.W-ABC=VG-VAB= V3 3 19.(14分)如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF=EF, AD⊥ED,CD⊥EA (I)求证：CD∥平面ABE: (II)若EF=ED,CD=2EF=2,求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小. (I)证明：CD‖平面ABFE 1.利用正方形性质得线线平行 面ABCD为正方形，故CD‖AB D 2.判断线面位置关系：ABC平面ABFE,CD平面ABFE。 3.证线面平行： 由线面平行判定定理（平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线 与平面平行)，得CD‖平面ABFE。 (Ⅱ)求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的大小 1.建空间直角坐标系： 以D为原点，DA、DC、DE为x、、z轴。由CD=2,EF=1,ED=1,得坐标：D(0,0,0) ,A(2,0,0).C(0,2,0),B(2,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1)。 2.求两平面法向量 。平面ADE:向量DA=(2,0,0),DE=(0,0,1),法向量元=(0,1,0)（垂直于x0z平面）。 。平面BCF:向量BC=(-2,0,0),B户=(-2，-1,1)。设法向量应=(，，z),则 -2x=0 -2x-y+2=0令y=1,得历=(0,1,1. 3.计算锐二面角： 设锐二面角为0，则cos0=需=00d=9,故0=45°（成）。 1×V2 20.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD, AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=√5 (I)求证：PD⊥平面PAB: (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： (I)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD? 若存在，求44的值：若不存在，说明理由。 AP ,(1)【证明】平面PAD⊥平面ABCD,且 平面PAD∩平面ABCD=AD,且AB⊥ AD,ABC平面ABCD,∴.AB⊥平面PAD, .PDC平面PAD,.AB⊥PD 又PD⊥PA,且PAOAB=A, .PD⊥平面PAB. (2)【解】取AD中点O,连接C0,P0. ·CD=AC=5,.C0⊥AD. 又PA=PD..PO⊥AD.又由题得P0⊥OC. 以点0为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.则P(0,0,1), B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),则P市=(1,1，-1)，P元=(2， 0,-1).Pi=(0,-1,-1),Ci=(-2,-1.0) 设n=(o,0,1)为平面PCD的一个法向量， 即-%-1=0 则{。，成=0，即)0，。 则n=(分，-1，) 设PB与平面PCD所成的角为O,则 n·P克 2-1-1 1 sin 0=Icos(n,PB)1 1n11P 3 +1+1×3 故直线P阳与平面P©D所成的角的正弦值为停 (3)【解】假设存在点M使得BM∥平面PCD. 设兴=A0≤A≤， 由(2)知，A(0,1,0),P(0,0,1),A=(0,-1,1),B(1,1,0), 则由Ai=AA币，可得M(0,1-A,A).Bi=(-1,-A,A). :BM/平面PCD,n=(2,-1,为平面PGD的-个法向量， 丽n=0,即-子+A+A=0,解得A=子 故在棱PA上存在点M,使得BM/平面PGD.此时兴=号