精品解析：云南省昆明市第八中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

昆明八中教育集团2025-2026学年上学期 义务教育优质均衡发展期中学情监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 9. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 11. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 13. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 14. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 15. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算：___________． 17. 分解因式：_______． 18. 如图，，点D在边上，若，，则________． 19. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，平分．求证：． 22. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）写出的面积； （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 24. 一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求 (用含a的代数式表示)． （2）小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ （3）将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 25. 【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且，，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量的长即可，画出示意图，如图2． （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由． 【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得，改变点D的位置，当时，只需测量的长即可，画出示意图，如图3． （2）乙小组的方案用到了________．（填序号） ①等角对等边 ②垂线段最短 ③等腰三角形“三线合一” 26. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________ 方法2：________________________ （2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系：________________． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 27. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）当时，________； （2）求的度数； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明八中教育集团2025-2026学年上学期 义务教育优质均衡发展期中学情监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】解：不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 用木条固定矩形门框，即组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：∵加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形， ∴所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 4. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 5. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为（-2，-3）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 6. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题． 【详解】解：一个七边形的内角和等于， 故选：B． 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可． 【详解】解：A．线段是边上的高，故不符合题意； B．线段不是任何边上的高，故不符合题意； C．线段是边上的高，故不符合题意； D．线段是边上的高，符合题意； 故选D． 9. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，选择答案即可． 【详解】解：A、，右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，符合题意； C、，从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：B． 10. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 11. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 12. 已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质．利用等腰三角形“三线合一”得出是角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，直接求解即可． 【详解】解：∵是等腰底边上的高， ∴平分（等腰三角形三线合一）． ∵点在上，且是的角平分线， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：D． 13. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键．先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答． 【详解】解：A、逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意. B、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：等腰三角形有两条边相等，是真命题，不符合题意； D、.逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； 故选：D． 15. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的性质：任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 17. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 如图，，点D在边上，若，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 19. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）根据幂的运算法则和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则，多项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 21. 如图，平分．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】略 22. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）写出的面积； （3）在x轴上找出点P，使最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）如图，点即为所求， 点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质，分别找到点关于轴的对称点，顺次连接，得到，即为所求； （）根据割补法即可求解； （）先找到点关于轴的对称点，连接，与相交于点，点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，图形与坐标，掌握轴对称图形的性质及最短路径问题是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：由图可得，点的坐标为． 理由：∵点和关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小． 23. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求 (用含a的代数式表示)． （2）小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ （3）将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 解：同意；理由如下： ， ∴与的差都不变． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出，然后进行判断即可； （3）表示出，然后再作差，比较大小即可． 【小问1详解】 解：得到的长方形的两边长分别为，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：． 25. 【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且，，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量的长即可，画出示意图，如图2． （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由． 【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得，改变点D的位置，当时，只需测量的长即可，画出示意图，如图3． （2）乙小组的方案用到了________．（填序号） ①等角对等边 ②垂线段最短 ③等腰三角形“三线合一” 【答案】 （1）正确，理由如下： 当P，B，Q在同一条直线上时， ∵A，B，C在同一条直线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴只需测量的长即可； （2）① 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，等角对等边，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据三角形的内角和定理，推出，等角对等边得到即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∴，即乙小组的方案用到了等角对等边； 故答案为：①． 26. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________ 方法2：________________________ （2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系：________________． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）①2.5，15；②21 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）方法1：根据“阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积”即可得出答案； 方法2：根据“阴影部分的面积边长为的正方形边长为，的长方形”即可得出答案； （2）由（1）计算的结果即可得出，，之间的等量关系； （3）①由（2）的结果得，则，将，代入计算即可得出的值；根据，得，由此可得的值； ②设，，则，，进而由得，根据得，继而得，然后根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：方法阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积为：； 方法阴影部分的面积边长为的正方形的面积边长为，的长方形的面积， 阴影部分的面积为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 由（1）可知：； 【小问3详解】 ①由（2）可知：； ， ，， ， ； ，， ， ； ②设，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ． 27. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）当时，________； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）60 （2） （3） 证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明为等边三角形，进而得到，根据外角的定义，结合角平分线的定义，得到，三角形的内角和定理求出即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （3）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $