26.2实际问题与反比例函数 同步练习题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《26.2实际问题与反比例函数》 同步练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．小明和同学到相距10千米的风景区去春游，他的速度与时间之间的关系是（   ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定 2．为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 4．某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数解析式，该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 5．某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为（   ） A． B． C． D． 6．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 7．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 8．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（满分24分） 9．某单位要建一个的矩形草坪，若它的长是，宽是，则y与x之间的函数解析式为 （不用写x的取值范围） 10．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．那么当时，氧气的密度 ． 11．已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为 度． 12．某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 13．已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 14．某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数关系式 ． 售价x（元） 200 240 250 400 日销售量y（件） 30 25 24 15 15．某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 16．在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是 ． 三、解答题（满分72分） 17．人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 18．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 19．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 20．放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70，请回答下列问题： （1）写出油箱注满油后，汽车能够行驶的总路程与平均耗油量之间的函数关系式； （2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行驶，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？ 21．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 22．挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 23．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 参考答案 1．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据等量关系“速度=路程时间”可写出函数表达式，然后再根据函数的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ， 所以速度v与时间t之间的函数关系是反比例函数． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 3．C 【分析】根据反比例函数的性质，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的应用，根据，将各点代入计算，再结合实际情况可得结论． 【详解】解：∵物体对地面的压强与受力面积之间的函数解析式， ∴， A、，故该函数图象一定经过，A选项符合题意； B、，故该函数图象不经过，B选项不符合题意； C、，故该函数图象不经过，C选项不符合题意； D、由题意可知，，故该函数图象不经过，D选项不符合题意． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数的性质及其应用．根据变量变化趋势即可确定参数范围． 【详解】解：∵，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小， ∴， 解得， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．设反比例函数解析式为，将，代入求出反比例函数解析式为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，得： 解得：， 小孔到蜡烛的距离为， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意把小时化成分钟． 把点代入，求得k的值，在把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把代入，求出t的值即可． 【详解】解：由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为，再把代入，得， 把代入，得， 小时=40分钟， 则汽车通过该路段最少需要40分钟． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 9． 【分析】先根据矩形的面积公式即可得到y与x之间的函数关系式． 【详解】解：∵矩形草坪的面积为，长是，宽是， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，熟知矩形的面积公式是解答此题的关键． 10． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．根据题意可设（为质量是定值，且），求出关于的函数解析式，即可得解． 【详解】解：由题意可设（为质量是定值，且）， ， 解得：， ， 当时，， 故答案为：． 11．250 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据题意可求出近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）的反比例关系为，再将代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比， ∴可设． ∵当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为， ∴， 解得：， ∴， 当镜片焦距为时，即， ∴． 故答案为：250． 12． 400 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及求函数值．根据“水量放水速度放水时间”即可列出v与t的函数表达式，再将代入求解即可． 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 13．15 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据已知求出常数，再求出时，的值即可． 【详解】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为， ∴， ∴当时，， 故答案为：15． 14． 【分析】根据表中数据可得：售价与日销售量的乘积为定值，得出，进行变形即可得出函数解析式． 【详解】解：根据表中数据可得：售价与日销售量的乘积为定值，即：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，根据表中数据得出售价与日销售量的乘积为定值是解题关键． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解函数图形，根据图示求自变量取值范围的方法是关键． 根据函数图象，由函数值求自变量取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，电流， ∴当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是， 故答案为： ． 17．(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 18．(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 19．(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 20．（1）；（2）不够，至少要加油20L 【分析】（1）根据总路程×平均耗油量=油箱总油量求解即可； （2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得出总路程与平均耗油量的函数关系式为：； （2）小明的爸爸始终以此速度行驶，油箱里的油不能够回到家 小明爸爸去时用油量是：（） 油箱剩下的油量是：（） 返回每千米用油量是：（） 返回时用油量是：（）. 所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油： 【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握． 21．(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 22．(1) (2) (3)两腿迈出的步长之差最多是厘米 【分析】（1）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，设反比例函数的解析式为，并将表格中的数据代入即可求解； （2）某人两腿迈出的步长之差为厘米代入反比例函数解析式即可求解； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设反比例函数解析式为，当时，， ∴，即， ∴与之间的函数表达式是． （2）解：某人两腿迈出的步长之差为厘米，即， ∴， ∴某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，将代入反比例函数， ∴，解方程得，， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴两腿迈出的步长之差最多是厘米． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际的综合应用，理解反比例函数的定义，及图像的特点是解题的关键． 23．(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 学科网（北京）股份有限公司 $