26.1反比例函数 同步练习题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《26.1反比例函数》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若点，，在反比例函数的图像上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 2．若直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．如图，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A．B．C．D． 5．如图在直角中，在轴上，，反比例函数与、分别交于、，连接，点为的中点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，函数的图象是二、四象限的角平分线，将的图象以点为中心旋转与函数的图象交于点A，再将的图象向右平移至点A，与轴交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为 ． 9．不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数．从盒子中随机抽取一个小球，数记为，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为，则点在反比例函数图象上的概率为 ． 10．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，函数的（）与的图象交于点，则代数式的值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为 ． 14．如图，正方形的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作轴交双曲线于点E，连接，则的面积为 三、解答题 15．已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 16．如图，两点的坐标分别为， ，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．求出点的坐标，并求反比例函数的解析式． 17．如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y＝的图象经过点A． (1)求点A的坐标； (2)如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B，且，求这个一次函数的解析式． 18．如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 19．如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点、、． (1)将矩形向右平移m个单位，得到矩形，若、恰好落在反比例函数的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； (2)在（1）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，分别将点A、B、C的纵坐标代入反比例函数中，得到结果，再比较即可得出结论． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图像上， ∴，，， ∵， ∴． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点以及反比例函数图像的中心对称性；熟练掌握反比例函数图像关于原点对称是解决问题的关键．反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点的坐标为， ∴它们的另一个交点的坐标是． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标与反比例函数的关系列出等式． 先设出点的坐标，根据反比例函数的性质表示出，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到对称点坐标，进而表示出，最后结合求解． 【详解】解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得： ，则， ， 因此，，对应选项B． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，根据反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题考查反比例函数与三角形面积，作出辅助线，找出相应三角形面积之间的关系是解题关键． 连接，作于F，设根据中点坐标以及反比例函数的性质得出．根据题意得出，再由三角形面积得出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于F， 设， ∵点为的中点， ， ，， ， ， ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，连接，代入到得，得到，得到，，利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到，，得出，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，连接， 代入到得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平移变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 联立和反比例函数的解析式可求得A点坐标，根据平移变换求得的解析式，再求点B的坐标即可． 【详解】解：由题意可得：的解析式为， 联立， 解得． ∴A点坐标为， 设的解析式为，则， 解得． ∴AB的解析式为， 当时，．解得：， ∴． 故选：A． 8． 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知，函数图像经过点， ∴，得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数图象的性质． 画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据反比例函数图象点的特征找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数， 若点在反比例函数图象上，则，故其中使得点在反比例函数图象上的结果数为4， 所以使得点在反比例函数图象上的概率＝． 故答案为． 10．2 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 11．2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于． 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点，，轴于点轴于点， ∴， ∵与的面积之和为2， ∴， ∴． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，对等式和代数式进行合理的变形，整体代入求值是解题的关键；由交点可得，再把通分，整体代入求值即可； 【详解】函数的（）与的图象交于点， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长． 根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值． 【详解】解：矩形的对称轴与坐标轴重合， ，点是矩形的对称中心， 反比例函数的图象也关于点成中心对称， ， ， ， ， ， 设，则，， 点、都在反比例函数的图象上， ，， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．7 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 过点作 轴，交轴于点，交于点，过点作于点，过点作于点，证明，得出对应边相等，假设，根据相等边列出方程求解，得到点的坐标，然后求三角形的面积即可． 【详解】解：过点作 轴，交轴于点，交于点，过点作于点，过点作于点， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴， 假设，点在第三象限，， ∵点A的坐标为， ∴，，， ∴， 解得， ∴，，， ∴点的纵坐标为， 当时，，解得， ∴， ∴的面积为． 故答案为：7 15．(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值． （1）待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 16．点的坐标为； 【分析】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．证明（），推出，，得到点C的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式． 【详解】解：∵两点的坐标分别为，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． 17．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数，一次函数，勾股定理，解答本题的关键是掌握函数图象上的点与函数解析式之间的关系． （1）设点的坐标，根据“反比例函数的图象经过点，把点的坐标代入，求得的值，即可确定点坐标； （2）设点的坐标为，结合题意，在中，根据勾股定理得：，即，由此可确定点坐标，再利用待定系数法确定直线的函数解析式． 【详解】（1）解：设点的坐标， 代入中， 得， 解得或． 经过检验或是原方程的根，但．不符合题意，舍去， 的坐标为； （2）设点的坐标为， ，， 如图，作轴交轴于， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得， 经检验是原方程的根， 点的坐标为， 设一次函数的解析式为，由于这个一次函数图象过点， ， 解得， 所求一次函数的解析式为． 18．(1)； (2)M点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）设反比例函数的表达式为：，把代入即可求出，将代入求出，设直线的表达式是：，把分别代入求出，即可求出； （2）设直线交轴于N，连接、，求出，设根据割补法列方程计算即可． 【详解】（1）设反比例函数的表达式为：，把代入得： ∴ 又∵在图象上    ∴ ∴ 设直线的表达式是：，把分别代入，得： 解得： ∴； （2）设直线交轴于N，如图，连接、， 在中，令，则 ∴ 设，则： ∴ ∴或9 ∴M点坐标为或 19．(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 20．(1)反比例函数表达式为， (2)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据平移规则求出、的坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可； （2）分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形向右平移m个单位，、，则点、的坐标分别为、， 将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得，， 故反比例函数表达式为，． （2）解：存在，理由：设点，点， ①当是边时，点D向右平移4个单位，向下平移2个单位得到B， 则点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到，故，即， 故点Q的坐标为或． ②当是对角线时，可得中点的横坐标为， ，解得， 故点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $