26.1.2反比例函数的图象和性质 同步练习题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《26.1.2反比例函数的图象和性质》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 2．点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 3．反比例函数的图像与函数的图像没有交点，若点、、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 6．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 7．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 二、填空题 8．已知函数的图象过点，则当自变量时，函数y的值是 ． 9．已知y是x的反比例函数，且当时，，当时，y的取值范围 ． 10．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 11．已知点A是反比例函数图像上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是 ． 12．如图，反比例函数上两点A，B的横坐标分别为，，则的面积是 ． 13．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 14．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 三、解答题 15．已知反比例函数的图象经过点． (1)函数的图象位于哪些象限内？ (2)点是否在这个函数图象上？ 16．已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 17．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 18．平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点交x轴于C点，点在函数、的图象上． (1)分别求函数，的表达式； (2)写出使成立的x的范围是_______； (3)连接，若点P在x轴上，的面积等于的面积，求点P的坐标． 19．如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 参考答案 1．B 【分析】本题考查反比例函数的性质（为反比例函数的比例系数，图象上点的坐标满足该等式 ）．解题关键是利用 “反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于k” 这一性质，通过计算不同点对应的k值，找出符合条件的k，进而确定函数解析式，核心是对反比例函数k的几何意义（）的理解与运用．对于反比例函数的性质是图象上任意一点都满足，据此回答即可． 【详解】解：计算各点对应k值： 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 。 由于反比例函数图象只能经过两点，而两点对应的k值一致，说明函数经过两点，所以， 反比例函数解析式为 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵函数的， ∴在每一个象限内，随的增大而增大，故该选项错误； B．函数的图象是关于原点对称的双曲线，故该选项错误； C．∵点在函数图象上， ∴， ∵， ∴点和点都在图象上，故该选项正确； D．∵函数在每一个象限内，随的增大而增大， ∴当时，，故该选项错误． 故选C． 3．B 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，比较反比例函数的函数值大小，先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数增减性，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∵反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵若点、、在这个反比例函数的图像上， ∴点、在第二象限，点在第四象限， ∴，，, ∵， ∴； ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点 与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 5．D 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 7．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 8．6 【分析】本题考查了反比例函数的运用，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据自变量的值求函数值即可． 【详解】解：函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， 故答案为：6 ． 9．或 【分析】此题考查了待定系数法求函数的解析式以及反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，根据已知条件求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像求出相应的y的取值范围．首先设出函数解析式，再利用待定系数法把，代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，因为，所以图像在一三象限，且在每一象限内y都随x到增大而减小，据此可以求得y的取值范围． 【详解】解：设函数解析式为：， 把，代入， 得， ∴反比例函数的解析式为：． ∵， ∴反比例函数的图像在一、三象限内，且y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y的取值范围是， 当时，y的取值范围是， 综上：或 故答案为：或 10． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数问题，关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．根据反比例函数的解析式和点在函数的图象上可求出点与点，由于为直角三角形解答即可． 【详解】解：如图： 点是点关于轴的对称点， ∴，， 轴； 因为为直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 因为点是反比例函数图象上的一点，设点坐标为，点的坐标为， 可得：， 解并检验得，（不合题意舍去） 所以点的坐标为， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是将求不规则三角形的面积的问题转化为几个图形面积的和差的形式求解．过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ，， ． 故答案为：． 13．8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 14．或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 15．(1)反比例函数的图象位于第二、四象限内 (2)点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质、求反比例函数值，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可； （2）求出时的反比例函数值即可作出判断． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，把代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限内； （2）当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 16．与之间的函数表达式为． 【分析】本题考查了求函数的解析式，设，，则，然后当时，；当时，代入得出方程组可得，最后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数表达式为． 17．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 18．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，利用数形结合得到成立时的范围即可； （3）先求出的面积为 12 ，设的坐标为的面积为：，求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上． ， ∴反比例函数解析式为， ∵横坐标为 2 的点在反比例函数的图象上， ， ∵点与点关于点对称， ， ∵一次函数的图象经过点，点， ∴ ，解得：， ． （2）解：如图，由直线解析式为可得， 根据函数图象可知，成立的的范围是． 故答案为：； （3）解：连接， ∵，， ∴轴，     ∴， 设的坐标为， ∴的面积为：， 解得或， ∴ P的坐标为或． 19．(1)， (2)或 (3) 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 【详解】（1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 20．(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． （2）解：∵，当时， ∴ ， 又∵、， ∴． （3）解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $