精品解析：北京市北京大学附属中学石景山学校2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷

北大附中石景山学校2025一2026学年第一学期期中质量监测 高二年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：100分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 如图所示，三棱锥中，M，N分别是AB，OC的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之类．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若、且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. 102m B. 112m C. 117m D. 120m 10. 如果对于空间任意条直线总存在一个平面，使得这条直线与平面所成的角均相等，那么这样的（ ） A. 最大值为3 B. 最大值为4 C. 最大值为5 D. 不存在最大值 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知过A（﹣2，a），B（a，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为_____． 12. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 13. 已知直线l方程为，那m为_____时，点到直线l的距离最大，最大值为__________ 14. 如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为______，的中点的轨迹长度为______. 15. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，． ①直线与直线是异面直线； ②为定值； ③三棱锥的外接球表面积的最小值为； ④当时，平面与平面的夹角大小为． 则以上结论中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. （1）求证：直线平面； （2）已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 17. 在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为， （1）求对角线所在直线的方程： （2）求过、、三点的圆的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）求三棱锥的体积． 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. （1）求圆的方程； （2）若与圆相切，求的方程； （3）若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 20. 羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. （1）求证：平面； （2）已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北大附中石景山学校2025一2026学年第一学期期中质量监测 高二年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：100分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 2. 如图所示，三棱锥中，M，N分别是AB，OC的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间的线性运算求解． 【详解】由题意： ， 故选：B． 3. 已知两条不同的直线，和平面满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则由，可得，充分性成立；反之，若，则由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 4. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的对角线交点为O，则易得D′O⊥平面ABC，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】设正方形的对角线交点为O， 则可得折叠后的二面角的平面角为， 又，， ∴，∴， ∴平面， ∴四面体的体积为. 故选：A. 7. 过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题意求出切点，利用线段垂直的性质求出，再利用直线方程的点斜式求解方程即可. 【详解】将直线变形为， 故直线过定点，我们把进行化简， 得到圆的标准方程是，圆心，半径为1， 显然过点的直线是圆的切线，从而求得切点， 根据题意，可知直线与直线垂直，又直线的斜率， 由，解得， 所以直线的方程为，即，故B正确. 故选：B 8. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解. 【详解】取的中点，连接, 则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面， ,,且平面,平面,则, 故四边形为矩形， 故四边形的面积为， 故选：B 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之类．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若、且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. 102m B. 112m C. 117m D. 120m 【答案】D 【解析】 【分析】先根据面面角的定义求得，从而依次求得，，，，再把所有棱长相加即可求解． 【详解】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 同理， 所以等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角分别为和， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为． 故选：D． 10. 如果对于空间任意条直线总存在一个平面，使得这条直线与平面所成的角均相等，那么这样的（ ） A. 最大值为3 B. 最大值为4 C. 最大值为5 D. 不存在最大值 【答案】A 【解析】 【分析】分别探究直线的条数为2､3､4的情况，由线面角的定义､线线位置关系以及空间几何体进行判断. 【详解】解：当2条直线时，一定可以作出与它们都平行的平面，此时这两条直线与该平面所成的角都是0度； 当3条直线时， 当它们共面时，一定可以作出与它们都平行的平面，此时这三条直线与该平面所成的角都是0度； 当它们不共面时，一定可以将它们平移到过一点，如图，直线过点，在其上分别取点，使，构成一个三棱锥，此时面与三条直线所成的角相等；证明：作面，垂足为，连接，，，则角分别为直线与面所成的角. 则必有，所以. 当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面. 故选：A. 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知过A（﹣2，a），B（a，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：由于过A（﹣2，a），B（a，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，可知其斜率相等，利用斜率计算公式即可得出． 解：由直线2x﹣y+1=0化为y=2x+1，可知其斜率为2． ∵过A（﹣2，a），B（a，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行， ∴kAB=2，∴， 解得a=2． 故答案为2． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的斜率． 12. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 13. 已知直线l方程为，那m为_____时，点到直线l的距离最大，最大值为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值． 【详解】直线l：化为， 由，得 ， 直线l必过定点． 当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l， 即点与定点的连线长就是所求最大值， 此时直线与直线垂直， ，解得， 此时，点到直线的最大距离是． 综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为． 故答案为：；． 14. 如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为______，的中点的轨迹长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，直观想象翻折过程中点的运动轨迹，结合点面距离的定义判断得所求为，从而得解；第二空，利用平行线的传递性，将问题等价于点的轨迹长试，从而得解. 【详解】第一空：过作交于， 易知当平面时，点到平面距离取得最大值， 因为在中，，，， 所以，； 第二空，取的中点，连接， 则，又， 则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同. 过作的垂线，垂足为， 则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧， 从而PD的中点F的轨迹长度为. 故答案为：；. 15. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，． ①直线与直线是异面直线； ②为定值； ③三棱锥的外接球表面积的最小值为； ④当时，平面与平面的夹角大小为． 则以上结论中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据，即可判断②；由题意可知两两垂直，由②结合基本不等式求出三棱锥的外接球半径的最小值，即可判断③；当时，为的中心，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断④；当为的中心时，，利用向量法证明，即可判断①. 【详解】对于②，设， 由题意， 即， 所以， 即为定值，故②正确； 对于③，设三棱锥的外接球的半径为， 由题意可知两两垂直， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故③正确； 对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以， 此时，为的中心， 则， 因为，所以平面， 故即为平面的一个法向量， 而， 设平面的一个法向量为， 则有，可取， 则， 所以平面PQR与平面OBC所成的锐二面角的余弦值为，故④错误， 由④可知，当为的中心时，， ，则， 所以， 所以直线PR与直线BC共面，故①错误. 故答案为：②③. 三、解答题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. （1）求证：直线平面； （2）已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 【答案】（1） 因为为等边三角形，点O为的中点， 所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由题意可证得，进而得，从而得出F为中点，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，则， 所以，由O为中点，可得F为中点，由， 可得. 17. 在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为， （1）求对角线所在直线的方程： （2）求过、、三点的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形对角线互相垂直平分，求出对角线的中点坐标和斜率，进而得到对角线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程； （2）先求出点坐标，再设出圆的一般方程，将三点代入方程，解方程组即可求出. 【小问1详解】 菱形的顶点和，利用中点坐标公式可得对角线的中点坐标为， 根据斜率公式求出，又菱形对角线互相垂直，，， 又菱形对角线互相平分，直线过对角线的中点， 根据点斜式可得对角线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得直线的方程为， 联立，解得，点坐标为，点坐标为， 设圆的一般方程为， 把三点代入方程，得，解得， 圆的一般方程为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，平面，平面，则， 由底面为正方形，得， 而平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定及面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到平面距离，再由体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，得，， 又，则直线两两垂直， 以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，则， ， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 由平面，得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离, 又，所以， 由知， 所以， 所以. 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. （1）求圆的方程； （2）若与圆相切，求的方程； （3）若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）或； （3）证明：由（2）知，直线的斜率必定存在，且不为0，其方程为：， 由，解得，即， 又直线与垂直，则直线所在的直线方程为， 由，解得， 即， 因此 . 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程. （1）按直线l1的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （2）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【小问1详解】 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即，解得，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为2，直线与圆相切，方程为； 当直线的斜率存在，设直线为，即， 圆心到直线的距离等于半径2，即 ，解得，方程为， 所以直线方程是或. 【小问3详解】 略 20. 羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. （1）求证：平面； （2）已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 【答案】（1）证明：因为，且为中点，所以 又因为，，且为中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）若选条件①，则需先证两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法表示出与平面所成角的正弦值，借助二次函数即可解决；若选条件②，取的中点，连接，证明得到平面平面，进而转化为条件①的解题过程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选条件①：平面平面， 取的中点，取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形，所以，， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直. 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 若选条件②：， 取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形， 且，， 所以， 在中，，所以. 所以二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面，面，所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直. 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $