精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

昆明市第三中学初2026届初三年级上学期期中考试 数学 试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列事件中，必然事件是（ ） A. B. 明天会下雨 C. 汽车经过路口时，红绿灯显示绿灯 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 5. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 正六边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 10. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 11. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 切线垂直于半径 C. 长度相等的弧是等弧 D. 若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 12. 如图，是的内切圆，分别切于点D，E，F．若的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ） A. B. 6 C. 24 D. 12 14. 如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( ) A. B. C. D. 15. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 17. 一只小猫在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在深色方砖上的概率是______ 18. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于_________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是_______________． 三、解答题：共62分． 20. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标____； （3）求绕点逆时针旋转后，点所经过的路程． 21. 如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 22. “一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． （1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； （2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 23. 如图，二次函数经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）利用图象的特点填空：不等式的解集为_________________． 24. 如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 （1）求桥拱所在圆的半径． （2）该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 25. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 26. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克元，公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到元，则销售单价x应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为w元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 27. 如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积（结果保留）； （3）如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学初2026届初三年级上学期期中考试 数学 试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原形图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键；根据圆周角定理求解即可． 【详解】解： ， 故选：． 3. 已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：点在外，的半径为5， ， 的长可能是6， 故选：D． 4. 下列事件中，必然事件是（ ） A. B. 明天会下雨 C. 汽车经过路口时，红绿灯显示绿灯 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键． 根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是必然事件，故本选项符合题意； B、是随机事件，故本选项不符合题意； C、是随机事件，故本选项不符合题意； D、是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 5. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 6. 正六边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 7. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算，骰子有6个等可能的结果，点数为2是其中之一，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种等可能结果，其中点数为2的结果只有1种， ∴点数为2的概率为． 故选：C． 8. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，求出的度数，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质并结合三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴； 故选A 9. 关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键 ． 根据二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴两侧的增减性以及与y轴的交点坐标判断选项即可 ． 【详解】解：二次函数为，其中，因此开口向下，选项A错误； 二次函数为，顶点坐标为，选项B错误； 开口向下时，对称轴直线的右侧，即时，函数值随增大而减小，选项C正确； 令，得，图象与轴的交点坐标为，选项D错误． 故选：C ． 10. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得摸到红球的频率逐渐稳定在附近，则摸到红球的概率为，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为， 故选：B． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 切线垂直于半径 C. 长度相等的弧是等弧 D. 若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括确定圆的条件、切线的性质、等弧的定义以及直线与圆的位置关系．根据以上知识逐项判断． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故 A错误； 切线垂直于经过切点的半径，而非任意半径，故B错误； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故 C错误； 直线与圆有公共点时，位置关系为相交或相切，故 D正确． 故选：D． 12. 如图，是的内切圆，分别切于点D，E，F．若的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆的性质,再结合三角形周长求出AE的长度. 根据是的内切圆，得到切线长相等，再根据三角形的周长，以及BC的长度，求出AE的长度. 【详解】是的内切圆， ， ． 的周长为， ， ， 的长为 故选：C. 13. 如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ） A. B. 6 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 14. 如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】圆锥的底面周长=2π×5=10π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n． ∴， 解得n=90， 圆锥的侧面展开图，如图所示： ∴最短路程为：=20， 故选D． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 15. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 17. 一只小猫在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在深色方砖上的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块， ∴最终停留在深色方砖上的概率为， 故答案为：． 18. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 三、解答题：共62分． 20. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标____； （3）求绕点逆时针旋转后，点所经过的路程． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据关于原点对称的点的特点，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据题意，得到点所经过的路程为以为半径，圆心角为的弧长，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由勾股定理，得：， 由题意可知，点所经过的路程为． 21. 如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，正确理解圆周角定理是解题的关键．先判断是直角三角形，然后根据圆周角定理得出，再根据角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 直径的长10． 22. “一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． （1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； （2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率、简单概率公式等知识． （1）根据简单概率公式求解即可； （2）列表，列举出所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中这两个景点中有“翠湖公园”的结果有6种， 这两个景点中有“翠湖公园”的概率是． 23. 如图，二次函数经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）利用图象的特点填空：不等式的解集为_________________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式、图象法求不等式的解集 （1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，的解集为轴下方自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：把点，，分别代入得， ，解得， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：不等式的解集为， 故答案为：． 24. 如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 （1）求桥拱所在圆的半径． （2）该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 【答案】（1）50米 （2）此时水面的宽度为60米 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键． （1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可； （2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接， ∴， 设圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴桥拱所在圆的半径为50米； 【小问2详解】 根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示： 由（1）得桥拱所在圆的半径为50米， ∴， ∴， ∴， ∴此时水面的宽度为60米． 25. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 26. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克元，公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到元，则销售单价x应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为w元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价x应定为元 （3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由图象知，当时，；当时，待定系数法求解即可，最后进行作答即可； （2）由题意知，，由，可知，则，计算求出满足要求的解即可； （3）设利润为，当时，，然后求最值并作答即可． 【小问1详解】 解：由图象知，当时，； 当时，设， 将代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 综上所述，； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意舍去），， 答：销售单价x应定为元； 【小问3详解】 解：设利润为， 当时，， ∵，， ∴当时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 27. 如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积（结果保留）； （3）如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的切线， ∴， ∴是的切线； （2） （3）的最小值 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心； （1）连接，证明，结合的切线，得到，即可得到是的切线； （2）由，得到，，，结合，得到，，然后根据图中阴影部分面积计算即可； （3）延长交于，连接，取中点，连接，，由点是的内心，得到，由，得到，根据斜边中线的性质得到，即可得到，当在上时，最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，， 设半径，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴图中阴影部分面积为； 【小问3详解】 解：延长交于，连接，取中点，连接，， ∵直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $