精品解析：江苏省连云港市灌云县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度高二第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 一、单项选择题（共8小题，满分40分） 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A. B. C. 2 D. 4 2. 两圆与的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 7. 曲线与直线的公共点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 曲线经过双曲线的一个焦点 D. 焦点到渐近线的距离为1 10. 已知点P在圆上，点，，，则（ ） A. B. 当面积最大时， C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 当时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是______． 13. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________． 四、解答题（共5大题，满分77分） 15. 已知的顶点，重心． （1）求线段BC的中点坐标； （2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标． 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：. 17. 已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． （1）求p的值： （2）点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 18. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 19. 平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 一、单项选择题（共8小题，满分40分） 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线方程知：，即， 根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 故选：B 2. 两圆与的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两圆的标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆位置关系是外切，进而求出结果． 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 所以，且，所以， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线． 故选:C． 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，以及对圆的标准方程的认识，属于基础题． 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为， 由余弦定理可得 即， 整理可得， 所以，即. 故选：B 5. 一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 6. 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】分析点的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得. 【详解】，因为，垂足为， 所以点的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点）， 半径，圆心为，又因为在拋场线上， 其准线为直线，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当四点共钱且在点下方时取等号， . 故选：C. 7. 曲线与直线的公共点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解. 【详解】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，再通过通径的性质有即可得解. 【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点， 延长交椭圆另一交点为， 由再结合椭圆的对称性， 易知， 所以， 由椭圆过焦点的弦通径最短， 所以当垂直 轴时，最短， 所以， 所以， 解得. 故选：C 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 曲线经过双曲线的一个焦点 D. 焦点到渐近线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定选项. 【详解】设双曲线方程为，将点代入可得， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以. 由解得，故选项正确； 由上可知，,所以双曲线的离心率为，故选项错误； 双曲线的焦点坐标为，其中满足，故选项正确； 双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离为，故选项正确， 故选：ACD. 10. 已知点P在圆上，点，，，则（ ） A. B. 当面积最大时， C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， ， ， 所以，A选项正确. ， 当，时，面积最大， 对应，所以B选项错误. 对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可， 而，则当与圆相切时，， 所以CD选项正确. 故选：ACD 11. 拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 当时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D， 【详解】对A，如图，由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，故A错误； 对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，故 . 故，所以.故B正确； 对C，过作垂直于准线，垂足为，则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，. 故的取值范围为，故C正确； 对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，故D错误； 故选：BC 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，， 则，所以， 则， 故答案为：． 13. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出图像，利用两点距离公式求得，再在与中利用正弦函数的定义求得，进而求得. 【详解】依题意，连结，记为的交点， 因为与圆相切，所以，，，是的中点， 因为，，所以， 又，所以在中，，， 故在中，， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 四、解答题（共5大题，满分77分） 15. 已知的顶点，重心． （1）求线段BC的中点坐标； （2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为，可得对应的共线向量解决求的中点；根据求，设点的坐标，根据的中点可以用表示，根据点在上且点在上，求出点的坐标，根据与垂直求出的方程，然后联立与. 【小问1详解】 设中点， 因为为的重心，且， 所以，即 所以，所以中点 【小问2详解】 因为的方程为，且为的垂心 所以即，所以 所以直线的方程为：，即 所以设点，又因为的中点，设则 即 又因为点在直线上，即，所以 所以，所以，则边上的高线为 而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点 即. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，由，，求出圆心坐标和半径得圆方程； （2）选①，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选②，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选③，由数量积的定义求得，然后同选①求解． 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为， 因为圆心在直线 上，所以. 又圆与轴相切于点，所以， 所以圆的圆心坐标为，则圆的方程为； 【小问2详解】 如果选择条件①，因为，， 所以圆心到直线的距离， 则，解得， 如果选择条件②，因为，， 由垂径定理可知圆心到直线的距离． 则，解得， 如果选择条件③，因为，所以， 得，又， 所以圆心到直线的距离 ， 则，解得． 17. 已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． （1）求p的值： （2）点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【答案】（1）； （2） 依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以， ∴， ∴． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出， ，即得证. 【小问1详解】 由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可得答案； （2）法一：设，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案. （3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标. 【小问1详解】 由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 法一：设，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； 【小问3详解】 由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性. 19. 平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线距离公式和双曲线定义运算分析即可得解. （2）根据角平分线的条件，利用向量投影模长相等、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式、基本不等式运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意设，由点到直线距离公式得 ，， ∴， ∴，又∵垂足位于第一象限， 垂足位于第四象限，， ∴的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则， 设直线的斜率为，记，由为的角平分线， 则有， 其中，，，， ∴， 同理得：，代入中， ∴，化简得：. 将代入，中， 解得：，， ∴，， 设直线的方程为，将代入， 解得：， ∴直线的方程为，， 由点到直线距离公式得：. 由直线的斜率为，设直线的方程为， 将点代入，解得：， ∴直线的方程为，将其与联立得： ， 设，则，， 由可知，， 由均值不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， ∵，故， ∴，当且仅当时，等号成立. ∴的最大值为. 【点睛】圆锥曲线题型中的角平分线问题往往有如下处理思路： 方法一.如果轴为一个角的平分线，则该角的两边所在直线的斜率互为相反数； 方法二.利用角平分线上的点到角两边的距离相等； 方法三.如果轴为一个角的平分线，则角两边所在直线满足以下规律：一边上任意一点关于轴的对称点必在另外一边上； 方法四.利用向量，根据向量投影的模长相等来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $