第5讲: 三角函数的应用2025-2026学年北师大版九年级数学下册

辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 4 讲:三角函数的应用 授课时间 备课时间 教学目标 1､实际应用中数学专业术语(坡度,仰角､俯角,方位角) 2､掌握利用解直角三角形的思路计算实际量; 重､难点 学习重点:灵活应用解直角三角形; 学习难点:构造直角三角形解决问题; 教学内容 一､仰角与俯角 1.仰角与俯角的定义:从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上向下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 2.利用锐角三角函数解决与仰角和俯角有关的实际问题. 练一练: 1､如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°,若AC=6米,则树高BC为( D ) A.6sin75°米 B.米 C.米 D.6tan75°米 2､如图,在热气球C处测得地面A､B两点的俯角分别为30°､45°,热气球C的高度CD为100米,点A､D､B在同一直线上,则AB两点间的距离是( D ) A.200米 B.200米 C.220米 D.100(+1)米 3､如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120 m,求这栋高楼BC的高度. 解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,由题得∠ABC=60°,∠ACB=30°, ∵点A到高楼的水平距离为120m, ∴AD=120m ∴BD=m DC==m ∴BC=BD+DC=m 4､如图,一枚运载火箭从点O处发射,当火箭到达点A､B时,在雷达站C处测得点A､B的仰角分别为34°､45°,其中点O､A､B在同一条直线上,A､B两点间的距离是1.65 km.求发射地O距雷达站C的距离(结果保留整数).(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67) 解析:在Rt▲AOC中,AO=OCtan34°=0.67OC Rt▲BOC中,BO=OCtan45°=OC ∵AB=BO-AO 1.65=OC-0.67OC 0.33OC=1.65 ∴OC=5km 5、 升国旗时,某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼.当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角为30°.若双眼离地面1.5米,则旗杆的高度为______米.(用含根号的式子表示) 【答案】. 【解析解:如图所示,AB为旗杆,CD为某同学. 则,,, 在中,,∴,∴, ∴. 6､如图,某风景区内有一瀑布,AB表示瀑布的垂直高度,在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°,沿坡度i=1:3的斜坡向上走100米,到达观景台C,在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°,若点B､D､E在同一水平线上.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.41,≈3.16) (1)观景台的高度CE为 米(结果保留准确值); (2)求瀑布的落差AB(结果保留整数). 【答案】(1)10;(2)瀑布的落差约为411米. 【分析】(1)通过解直角△CDE得到:CE=CD•sin37°. (2)作CF⊥AB于F,构造矩形CEBF.由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度,最后通过解直角△ACF求得答案. 【解析】(1)∵tan∠CDE= ∴CD=3CE. 又CD=100米, ∴100= ∴CE=10 . 故答案是:10. (2)作CF⊥AB于F,则四边形CEBF是矩形. ∴CE=BF=10,CF=BE. 在直角△ADB中,∠DB=45°.设AB=BD=x米. ∵= , ∴DE=30. 在直角△ACF中,∠ACF=37°,tan∠ACF 解得x≈411. 答:瀑布的落差约为411米. 2、 坡度(坡比) 如图,坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即. 坡度通常写成1 : m的形式,如. 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作. 坡度i与坡角之间的关系:. 练一练: 1、 某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米,则他所在的位置比原来的位置升高 ______米. 【答案】6. 2、 某铁路路基的横断面是等腰梯形,其上底为10米,下底为13.6米,高1.2米,则腰面坡角的正切值为______. 【答案】. 3､如图,坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米,则两树间的坡面距 离AB为( ) A.4米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 4､如图,燕尾槽的横断面中,槽口的形状是等腰梯形,其外口宽AD = 15毫米, 槽的深度为12毫米,的正切值为,则它的里口宽BC = ______. 【答案】33毫米. 5､如图,某村开挖一条长1600米的水渠,渠道的横断面为等腰梯形,渠道深0.8 米,下底宽1.2米,坡度为1 : 1.求一共挖土多少立方米? 【答案】2560. 【解析】, . 3、 方位角 练一练: 1､如果由点A测得点B在北偏东15°的方向,则由B测点A的方向为( ) A.北偏东15° B.北偏西75° C.南偏西15° D.南偏东75° 【答案】B 2､如图,小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地,再从B地向正南方向 走200米到C地,此时小明离A地_____米. 【答案】100. 【解析】解:由题意可知: 在中,, ∴,∴,. ∴. ∴. 3､如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A､C两地相距( ) A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里 【答案】B 【解析】解:∵, ∴为等边三角形. ∴. 4､如图,海中有一个小岛A,该岛的四周10海里的范围内有暗礁,有一货轮在海面上由西向东航行,到达B处时,该货轮位于小岛南偏西60°的方向上,再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处,如果货轮继续向东航行,是否会有触礁危险?请通过计算说明: 【详解】过A作AH垂直于BC交BC的延长线于点H; 由题意可得; 设,在△ACH中, 在△ABH中, 所以,不会有触礁危险. 课后练习 1､修筑一坡度为3︰4的大坝,如果设大坝斜坡的坡角为,那么的正切值是( C ) A. B. C. D. 2､已知一坡面的坡比为1∶,则坡角α为( C ) A.15° B.20° C.30° D.45° 3､如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°,那么点B处小明看点A处小丽的仰角是( A ) A.35° B.45° C.55° D.65° 4､如果一段斜坡的坡角是30°,那么这段斜坡的坡度是_______.(请写成1︰m的形式).【答案】 5､如果人在一斜坡坡面上前行50米时,恰好在铅垂方向上上升了5米,那么该斜坡的坡度是__________. 【答案】 6､如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°,沿山坡向上走200米到达B处,在B处测得点P的仰角为15°.已知山坡AB的坡度i=1:,且H､A､B､P在同一平面内,那么电视塔的高度PH为____100______米.(结果保留根号形式) 【详解】解:过B作BM⊥HA于M,过B作BN∥AM 则∠AMB=90°,∠ABN=∠BAM, 由题意得:AB=200米,∠PBN=15°, ∵山坡AB的坡度i=1:, ∴tan∠BAM=1:=, ∴∠BAM=30°, ∴∠ABN=30°, ∴∠PAB=180°﹣∠PAH﹣∠BAM=90°,∠ABP=∠ABN+∠PBN=45°, ∴△PAB是等腰直角三角形, ∴PA=AB=200米, 在Rt△PAH中,sin∠PAH= , ∴PH= , 故答案为:100. 7､如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,向N点方向前进16 m到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度为多少? 【详解】设MN=x, 在中,AN== 在中,BN==x ∴AB=AN-BN=-x=(-1)x=16 X=8+8 ∴MN=(8+8)m 8､某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知CD=6米,求旗杆AB的高度. 解析:过点B作BE⊥DC,垂足为E,由题得∠DBE=30°,∠CBE=60° 在中,DE== 在中,CE==BE ∴CD＝CE-DE ６＝BE－ ∴BE＝3ｍ． AB=CD+DE=6+=6+3=9m. 9､如图,在河流的右岸边有一高楼,左岸边有一坡度的山坡,点与点在同一水平面上,与在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼的高度,在坡底处测得楼顶的仰角为,然后沿坡面上行了米(即米)到达点处,此时在处测得楼顶的仰角为.(参考数据:,,) (1)求点到点的水平距离的长; (2)求楼的高度. 【答案】(1)米;(2)楼的高度为米. 【分析】(1)由的坡度,可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案; (2)如图,过作于 先证明四边形是矩形,可得 设 证明 可得 由 建立方程,再解方程检验即可得到答案. 【解析】解:(1) 的坡度, 设 则 (2)如图,过作于 四边形是矩形, 设 由 解得: 经检验:符合题意, 所以:建筑物的高为:米. 10､如图,是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图,底座的高为,宽为,点是的中点,连杆的长度分别为和,,且连杆与始终在同一平面内. (1)求点到水平桌面的距离; (2)产品说明书提示,若点与的水平距离超过的长度,则该支架会倾倒.现将调节为,此时支架会倾倒吗?(参考数据∶) 【答案】(1)点与水平桌面的距离为 (2)支架不会倾倒 【分析】(1)过点作于,过点作于,由题意得,,解求出,则; (2)过点作,过点作于,与交于点.先解求出,再解在求出,即可得到,由此即可得到答案. 【解析】(1)解:过点作于,过点作于. 由题意可得,, 在中,, ∴,即, ∴ ∴, ∴此时点与水平桌面的距离为. (2)解:过点作,过点作于,与交于点. 由题意可知,在中,,,, ∴,即 ∴, 在中,,, ∴,即, ∴, ∴ ∵, ∴支架不会倾倒. 当堂小测 学生: 成绩: 日期: 1.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为( ) A.1200 m B.1200 m C.1200 m D.2400 m 2.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1 m,则该楼的高度CD为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 3.如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间的距离(结果精确到0.1 km).(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.) 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