第 1 讲:锐角三角函数2025-2026学年北师大版数学九年级下册

辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 1 讲：锐角三角函数 授课时间 备课时间 教学目标 1、掌握三个锐角三角函数的名称以及计算方式 2、探索直角三角形的关系，发展几何直观 重、难点 学习重点：理解锐角三角函数的计算方法， 学习难点：利用锐角三角函数的定义求相关边长 教学内容 一、数学情境（根据题目数据不同，数学情境会随之改变） 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边 ( ∠ A的 邻边 ) 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） / 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 二、锐角三角函数的定义 1、 正弦：∠A的正弦：sinA＝=； 书写规范和注意事项（以sin为例子，cos和tan书写规范同理） （1）书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF），“∠”不能省略 （2）sinA是完整的数学符号，是整体，不能理解成乘积 （3）常写成 （4）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在 练一练： 1、如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的　　 A． B． C． D． 2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB=，AC＝2，则BC长为 3、在中，，，则的值为 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是　 　． 5、如图所示在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知AC，AB＝3，那么sin∠ACD＝　 　． 2、 ∠A的余弦：cosA＝=； 练一练： 1、在中，，是斜边上的高，下列线段的比值等于的值的有　　个 （1） （2） （3） （4） A．1 B．2 C．3 D．4 2、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，AB＝4，则cosB的值是 3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA，则AB的长为　 　． 4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，若cosA，则BC的长为　 　． 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　 　． 3、∠A的正切：tanA＝=； 练一练： 1、如图，在中，，的对边是______，的邻边是______ 的对边是______，的邻边是______． 2、在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是　　 A. B．3 C． D． 3、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA，则BC的长为 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=2，求AB的长． 5、已知，在中，，BC = 9，tan A = ．求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 课后练习 1、在△ABC中，AC＝3，BC＝，AB＝，则sinA的值为 ． 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是 ． 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，则tanA的值是( ) A. B．　　C. D． 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为 ． 5、如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝ ． 6、如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，BC＝6，则sinA的值为 ． 7、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值是( ) A． B．　　　C．　D． 8、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的正弦值为 ，∠B的余弦值为 ． 9、已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 10、已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 11、在中，，BC = 3，tan A =，求的三个三角比的值． 12、已知等腰中，底边BC = 20 cm，面积为40 cm2，求sin B和tan C． 13、如图，在中，，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、、的值． 拓展提高： 14、直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求的值． 15、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是_____________． 16、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为_________. (2)∠CDE的正切值为________. 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据图中给出的信息，求sinA和sinB的值． 2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，求∠C的正弦值． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，求cosA和cosB的值． 4、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值． 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求tanA和tanB的值． 6、在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为( ) A． B．　　　C．　D．3 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 1 讲：锐角三角函数 授课时间 备课时间 教学目标 1、掌握三个锐角三角函数的名称以及计算方式 2、探索直角三角形的关系，发展几何直观 重、难点 学习重点：理解锐角三角函数的计算方法， 学习难点：利用锐角三角函数的定义求相关边长 教学内容 一、数学情境（根据题目数据不同，数学情境会随之改变） 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边 ( ∠ A的 邻边 ) 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） / 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 二、锐角三角函数的定义 1、 正弦：∠A的正弦：sinA＝=； 书写规范和注意事项（以sin为例子，cos和tan书写规范同理） （1）书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF），“∠”不能省略 （2）sinA是完整的数学符号，是整体，不能理解成乘积 （3）常写成 （4）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在 练一练： 1、如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的C A． B． C． D． 2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB=，AC＝2，则BC长为 6 3、在中，，，则的值为 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是　 　． 5、如图所示在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知AC，AB＝3，那么sin∠ACD＝　 　． 2、 ∠A的余弦：cosA＝=； 练一练： 1、在中，，是斜边上的高，下列线段的比值等于的值的有C个 （1） （2） （3） （4） A．1 B．2 C．3 D．4 2、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，AB＝4，则cosB的值是 3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA，则AB的长为　 10 　． 4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，若cosA，则BC的长为　 5 　． 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　 　． 3、∠A的正切：tanA＝=； 练一练： 1、如图，在中，，的对边是__BC____，的邻边是__AC____ 的对边是__AC____，的邻边是__BC____． 2、在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是A A. B．3 C． D． 3、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA，则BC的长为 6 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=2，求AB的长． 解：在Rt△ABC中， tanA== ∵BC=2 ∴AC=6，AB= 5、已知，在中，，BC = 9，tan A = ．求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 解：（1）在Rt△ABC中， tanA== ∵BC=9 ∴AC=12，AB= （2）tanB== 课后练习 1、在△ABC中，AC＝3，BC＝，AB＝，则sinA的值为 ． 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是 ． 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，则tanA的值是( B ) A. B．　　C. D． 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为 ． 5、如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝ ． 6、如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，BC＝6，则sinA的值为 ． 7、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值是(D ) A． B．　　　C．　D． 8、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的正弦值为 ，∠B的余弦值为 ． 9、已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 解：（1）在中， ∵sinA==，BC=9 ∴AB=12 （2） 在中，BC== ∴sinB= 10、已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 解：（1）在中， ∵sinA== ∴设BC=2k,AB=3k AC= ∴sinB= 11、在中，，BC = 3，tan A =，求的三个三角比的值． 【难度】★ 【答案】sinA=,cosA=,tanA=． 【解析】由勾股定理，得，根据正弦、余弦、正切、余切 的定义求解得 sinA=,cosA=,tanA=． 12、已知等腰中，底边BC = 20 cm，面积为40 cm2，求sin B和tan C． 【答案】． 【解析】画示意图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则,， 求得,由勾股定理，得, 在中，, 在中，． 13、如图，在中，，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、、的值． 【答案】sinA=,cos=,tan=． 【解析】由勾股定理，得，∵, 可知，∴ ，sinA=,cos=,tan=． 拓展提高： 14、直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求的值． 【答案】． 【解析】由题意，得，因为翻折，所以， 设，在直角三角形BCE中，， 即，解得，所以，所以． 15、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，现将△ABC沿ED翻折，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠BED的值是_____________． 【答案】； 【详解】解：由翻折的性质可知：ED⊥AB，∠DEA=∠BED． ∵∠A+∠DEA=90°，∠CBA+∠A=90°， ∴∠DEA=∠CBA． ∴∠BED=∠CBA． ∴tan∠BED=tan∠CBA= ． 故答案为：． 16、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为_________. (2)∠CDE的正切值为________. 【答案】BE=5； tan∠CDE= 【详解】（1）由题意得△BFE≌△DFE， ∴DE=BE. 又∵在△BDE中，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠BED=90°，即DE⊥BC. ∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8， 过A作AG⊥BC于G， ∵四边形AGED是矩形． ∴AD=GE=2，AG=DE． ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD， ∵∠AGB=∠DEC=90° Rt△ABG和Rt△DCE中， ∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL）， ∴BG=EC=3． ∴BE=5 (2)由(1)得DE=BE=5， 在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3， ∴tan∠CDE== 故答案为：(1) BE=5； (2) tan∠CDE= 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据图中给出的信息，求sinA和sinB的值． 解析：在Rt△ABC中，AB= sinA=，sinB= 2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，求∠C的正弦值． 解析：在Rt△ABC中，tanC= 3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，求cosA和cosB的值． 解析：在Rt△ABC中，BC= cosA=，cosB=。 4、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值． 解析：在Rt△ABC中，AB= ∴cosB= 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求tanA和tanB的值． 解析：在Rt△ABC中 tanA=,tanB= 6、在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为( A ) A． B．　　　C．　D．3 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $