精品解析：辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度（上）高一年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（　　） A B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式解集是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0158 则在上的零点个数（　　） A 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 5. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 二、选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列式子正确的是（　　） A B. C. D. 10. 下列函数中，是同一函数的有（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________ 13. 若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 14. 设函数则不等式的解集是___________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，写出集合的所有子集． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）用定义判断在区间上的单调性． 17. 为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值． 18. 若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数．已知函数为函数的一个零点．是否存在常数．使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 19. 已知函数对任意实数，都有，且当时，． （1）证明：函数在上是增函数； （2）已知命题：对任意实数且，不等式恒成立．若命题是真命题，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高一年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求即可. 【详解】集合，则. 故选：A. 2. 若，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义分析即可. 【详解】若，有，则推不出成立，即充分性不成立； 若，有，推不出成立，即必要性不成立； 综上“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 故选：A 4. 已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 5. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】命题“”是假命题， 所以， 解得或， 即实数的取值范围为 故选：D 6. 已知是定义在上的偶函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称即可求解. 【详解】由题意可知，，得， 并且，即，解得， 因此. 故选：A 7. 已知，则（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 详解】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 故选：A． 二、选择题；本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先化简集合B，再利用集合的交集，并集和补集运算求解. 【详解】因为集合，集合， 所以或， 则，， 或，， 故选：AD 10. 下列函数中，是同一函数的有（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即A错误； 对于B，两函数的定义域都是，对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即C错误； 对于D，两函数的定义域都是，因， 则两函数的对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即D正确. 故选：BD. 11. 已知，且，则下列不等式不恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先变形等式可得，结合基本不等式和换元法计算判断各个选项. 【详解】因为，， 所以，化简得 对于A，因为，A不成立. 对于B，因为可得，根据基本不等式， 设，则，即， 当且仅当时取等号，所以，B不恒成立. 对于C，因为可得，根据基本不等式 （当且仅当时取等号），所以， 当且仅当时取等号，C不恒成立. 对于D，，令，由上分析可知， 所以，令，根据二次函数的性质可得， 当且仅当，即时取等号，D恒成立. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】问题转换成有两个不同的根，结合判别式即可求解. 【详解】因为函数有两个零点， 即有两个不同的根， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 若，且恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的结构，分段求解不等式再求并集即得. 【详解】由可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【解析】 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）用定义判断在区间上的单调性． 【答案】（1） （2）单调递增. 【解析】 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. 【小问1详解】 由题意可知，∴， ，∴，∴， ∴. 【小问2详解】 取任意，且， ， ∵，∴，∵，∴，即， ∴， 即函数在区间上单调递增. 17. 为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理．已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年．建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为．已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是为常数）．记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）． （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值． 【答案】（1） （2）时，最小，最小值为万元. 【解析】 【分析】(1)先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数. (2)利用均值不等式求出的最小值及此时的值。 【小问1详解】 因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，即时，， 所以，由题意，则建造垃圾回收处理站费用， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即时取等号，所以时， 最小，最小值为万元. 18. 若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数．已知函数为函数的一个零点．是否存在常数．使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 【答案】存， 【解析】 【分析】利用新定义及一次函数与二次函数的图象与性质结合恒成立问题分类讨论计算即可. 【详解】假设存在常数，满足题意， 则在R上恒成立， 由为函数的一个零点可知，即， 整理得不等式组在R上恒成立， 对于，其要在R上恒成立，显然， 对于，其要在R上恒成立，需， 所以， ①若，要满足，需， 而此时， 显然不恒成立，不符合题意； ②若，则， ， 两式相加有，则， 且，所以，即， 符合题意； ③若，此时在R上恒成立， 要满足，需，但此时显然不恒成立，矛盾； 综上所述存在，即，符合题意. 19. 已知函数对任意实数，都有，且当时，． （1）证明：函数在上是增函数； （2）已知命题：对任意实数且，不等式恒成立．若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给函数满足的条件，以及函数单调递增的概念，通过定义法证明函数单调性； （2）通过函数的奇偶性和单调性，对不等式进行变形，列出参数的不等式，根据任意恒成立的条件，以及基本不等式的性质，求出参数范围即可. 小问1详解】 设，即，因为当时，，所以， 由题意可知，即， 所以函数在上是增函数； 【小问2详解】 由题意可知，当时，得， 再令，代入得，即，所以函数在上是奇函数， 则， 同理，， 则原不等式为， 因为函数在上是增函数，即， 则对任意实数且，不等式恒成立， 等价于对任意实数且，不等式恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 即得，从而恒成立，解得， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $