精品解析：云南省昆明市第十中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

昆明市第十中学教育集团2025—2026学年上学期期中考试试题卷 高一年级数学学科 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的并运算求并集即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值判断A，由不等式的性质判断B、C，应用作差法比较大小判断D. 【详解】A：若时，，故A错误； B：∵，则，， ∴，则， ∴，即，故B错误； C：∵，所以，. 于是，即，， ∴，故C错误； D：， ∵， ∴，，，， ∴，则，故D正确. 故选：D 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得. 【详解】由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C； 当时，恒成立，排除D. 故选：A 4. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. . 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的单调性结合题设条件易得. 【详解】因的图象的对称轴为直线，且开口向下； 依题意在区间上单调递减， 则. 故选：A 5. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，定义域为， 即与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 即与不是同一函数，故B错误； 对于C，（），（）， 因两函数的定义域与对应关系都分别相同，所以表示同一函数，故C正确； 对于D，，与的对应关系不同，即两函数不是同一函数，故D错误. 故选：C. 6. 已知幂函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A. -2 B. 5 C. -2或5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】由幂函数的概念可知，，所以，解之得或． 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意． 故选：A 7. 已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题设得到，结合函数单调性得到在有解求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，函数单调递增，值域为， 由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且， 综上，在R上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即在有解， 当时，所以. 故选：ABC 8. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，∵，且，∴. 其定义域为，关于原点不对称.故不是偶函数，即A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称， 因，故为偶函数，即B正确； 对于C，的定义域为，关于原点对称， 因，，故不是偶函数，即C错误； 对于D，的定义域为，关于原点对称， 且，故为偶函数，即D正确. 故选：BD 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】对于A，由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根， 所以且，则且，则，故A正确， 对于B，不等式为，解得，故解集是，故B正确， 对于C， ，C错误， 对于D， 化为，即，解得， 故不等式的解为，D错误， 故选：AB 11. 已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，两边加1得到 ，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数定义分类计算. 【详解】由已知， 故答案为：， 13. 若命题为假命题，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况即可求解. 【详解】∵命题为假命题，∴方程无实数根．则，解得． 故答案为： 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用已知条件计算得，进而求得对称中心. 【详解】因为， 从而， 故对称中心为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分、第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求； （2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或； （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以A. 当时，符合题意，此时有，解得：a<0. 当时，要使A，只需，解得： 综上：a<1. 即实数的取值范围. 16. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1）（），第3年开始全年盈利 （2）按方案②处理较合理，理由如下： 方案①：（当且仅当时取“＝”）, 所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利万元. 方案②：，所以当时，， 故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利万元. 所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得与之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解； （2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据题意：（）， 由解得：，， 所以，所以该机床从第3年开始全年盈利. 【小问2详解】 略 17. 已知偶函数定义域为，当时，． （1）求出函数的解析式； （2）判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 【答案】（1）； （2）当时，，在上是增函数. 任取，则， 而，，且，则，因此， 所以在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式即得. （2）判断函数单调性，再利用单调性定义推理判断即可. 【小问1详解】 偶函数定义域为，当时，， 当时，，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 略 18. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 【答案】（1），；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，过点作于点，连接，由题中条件，表示出，进而可得出周长的函数关系式；令，由换元法，结合二次函数的性质，即可求出周长y的最大值. （2）由（1）知，等腰梯形的各边长，由的不同取值范围，求出梯形位于直线左侧的图形的面积. 【小问1详解】 由题意可得，过点作于点，连接， 因为半圆的半径为2，线段的长度为x， 则，，，所以， 因此， 所以这个等腰梯形的周长为，其中， 即，； 令，因为，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此梯形周长的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，当梯形的周长取得最大值时，， 等腰梯形的下底，腰， 等腰梯形的高， 则当时，； 当时，； 当时，； 所以，. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】（1） 在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2） ，设， 可设或， 则函数在上单调递增. 若是的“优美区间”， 则是方程的两个同号且不等的实数根. 方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可； （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证； （3）原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出的范围以及关于的表达式，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第十中学教育集团2025—2026学年上学期期中考试试题卷 高一年级数学学科 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. . 5. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知幂函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A. -2 B. 5 C. -2或5 D. 2 7. 已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 若，当时，有解，则取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 若命题为假命题，则实数a的取值范围为________. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分、第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 17. 已知偶函数定义域为，当时，． （1）求出函数的解析式； （2）判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 18. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $