精品解析：上海市位育中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

上海市位育中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分 命题：刘子源 审题：杜忠辉、苏发银） 一、填空题（本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的含义以及交集的概念即可得到答案. 【详解】集合，其表示所有的偶数， 则. 故答案为：. 2. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 3. 已知，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用分式不等式的解法求解集. 【详解】由，可得解集为. 故答案为： 4. 已知向量，若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 5. 设，且为奇函数，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 6. 设且，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将用x表示，代入原式后利用基本不等式求乘积的最大值即可. 【详解】因为，则，即， 可得则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 7. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等比中项的性质及等差数列基本量运算求得，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由，且，，成等比数列，知，化简得， 所以或（舍去），则. 故答案为： 8. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角不等式得到，再由可求的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 9. 设，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式. 【详解】当时，单调递增，单调递减， 故单调递减，且； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 解得，与不符，故不等式无解； 当且，即时，，故不等式无解； 当且，即且，不可能成立； 当且，即时，，不等式成立， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 10. 在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11. 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　 . 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意分别表示出和,只要令小于或等于椭圆的长轴即可. 【详解】依题意，. 故答案为 . 本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力 12. 已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】. 【解析】 【分析】由，可得，，共线，再由向量的数量积的几何意义可得为的平分线，由角平分线的性质定理可得，可得的轨迹为圆，求得圆的直径与的关系，即可得到所求最值． 【详解】解：由， 可得，，共线， 由， 可得， 即有， 则为的平分线， 由角平分线的性质定理可得， 即的轨迹为圆心在上的圆， 由，可得， 由，可得， 可得， 由函数在上递增，可得， 即有， 即，由题意可得， 故的最小值为． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】先得出“”和“”的等价条件，再结合必要条件和充分条件的定义判断即可. 【详解】已知，“”等价于或， “”等价于， 所以“”不能推出“”，“”可以推出“”， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 15. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 16. 设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（ ）. A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，再从开始逐个推导，求出最大值. 【详解】因为数列每一项均为正整数，且， 所以，所以， 设，则数列是严格递减数列， 所以可转化为，， 想要尽量大，就要让尽量慢的递减，且必须是正整数， 从开始，则， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，所以，满足该条件的最小正整数为，所以， ，不满足条件，所以的最大值为， 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，. （1）若，求的值； （2）若，求的值与角的大小. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理得，可求得； （2）根据已知可得，，利用正弦定理求得的值；然后根据求得余弦，进而可得角的大小. 【小问1详解】 在中，， ， 由余弦定理得，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 又，由正弦定理， 所以； 则 ， 因为，所以. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，点是正方形的中心，点在棱上，且满足. （1）求直线AP与平面所成角的大小； （2）设点在平面上的投影是点，求证：. 【答案】（1）; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角； （2）结合向量垂直的坐标表示证明，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理证明线线垂直. 【小问1详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, ,平面的一个法向量是， 设直线AP与平面所成角为， 则， ; 【小问2详解】 由（1），，则，所以， 又是在平面上的投影，即平面， 而平面，所以， 因为，平面， 所以平面，而平面，所以. 19. 在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. （1）求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； （2）已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 【答案】（1），其中. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到移动时单位时间内淋雨量为，进而求得总淋雨量的表达式； （2）由（1）知，得到，分类讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. 【小问2详解】 解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 20. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点的坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）过定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【小问1详解】 由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： 【小问2详解】 由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 21. 设a、b为不等于1的正数.记，其中且. （1）若，求实数a、b需满足的等量关系； （2）设.记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）； （3）若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为. 【答案】（1）或 （2）当时，没有最小值；当时，当时取得最小值. （3） 即， 同时取以e为底的对数可得，即. 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减 最大值，当趋于正无穷时，由和的增长速度可知趋于0. 由于，则当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 所以. 当时，， 当时，，此时不符合题意； 当时，，符合题意. 综上：所有满足题意的实数组成的集合为. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给定义，利用对数运算法则，得出a、b满足的等量关系； （2）根据题目所给定义，利用对数运算化简为，换元并构造，结合定义域，求导讨论的单调性与最值即可； （3）根据题目所给定义，利用对数运算变形为，构造函数，求导研究其单调性，结合讨论的范围即可证明. 【小问1详解】 ，， 若,则， 由换底公式得，则， 所以或， 所以或. 【小问2详解】 ， ， ， 设，设，则， ①当时，对于需要，即，， 此时，单调递增，没有最小值，所以也没有最小值； ②当时，，，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得最小值，则取得最小值， 此时，； 综上：当时，没有最小值；当时，当时取得最小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市位育中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分 命题：刘子源 审题：杜忠辉、苏发银） 一、填空题（本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 集合，，则______． 2. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 3. 已知，则不等式的解集为__________. 4. 已知向量，若，则的值为___________. 5. 设，且为奇函数，则__________. 6. 设且，则的最大值为__________. 7. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则______. 8. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 9. 设，则不等式的解集为__________. 10. 在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 11. 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　 . 12. 已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ） A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 15. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数.若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（ ）. A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，. （1）若，求的值； （2）若，求的值与角的大小. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，点是正方形的中心，点在棱上，且满足. （1）求直线AP与平面所成角的大小； （2）设点在平面上的投影是点，求证：. 19. 在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. （1）求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； （2）已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 20. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点的坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 21. 设a、b为不等于1的正数.记，其中且. （1）若，求实数a、b需满足的等量关系； （2）设.记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）； （3）若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $