北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中练习数学试题

首都师大附中2025—2026学年第一学期期中练习 高一数学（Ⅰ卷） 2025.11 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 抽奖箱里有10张形状、材质相同的奖券，其中1张有奖，9张没有奖.某人依次抽取三张奖券，则他中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. -80 B. 80 C. -5 D. 5 4. 甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 5. 掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B 事件与事件相互独立 C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动.为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图．若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率是（ ）. A. B. C. D. 9. 如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（ ）． A. 60对 B. 62对 C. 72对 D. 124对 10. 已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 命题“，使”是真命题，则的取值范围是________． 12. 若，则___________；____________. 13. 某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是__________． 14. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有______种.（用数字作答） 15. 已知，函数． （1）当时，不等式的解集是______ （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______ 16. “群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是______. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产x台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18 《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下： ①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束． ②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入决赛． 已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为． （1）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件，求事件的概率； （2）求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率． 19 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 20. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t，使得任意，都有，且，则称为M上的增长函数. （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求实数t的取值范围； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，直接写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 首都师大附中2025—2026学年第一学期期中练习 高一数学（Ⅰ卷） 2025.11 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】144 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【17题答案】 【答案】（1） （2）30；800 【18题答案】 【答案】（1），， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望； （3） 【20题答案】 【答案】（1）函数是区间上的增长函数；函数不是区间上的增长函数. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $