精品解析：上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题填对得4分，第7-12题填对得5分，否则一律得零分. 1. 函数的定义域为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0得到不等式，解得即可. 【详解】由题，可得，等价于，解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2. 已知集合，集合，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由补集的定义及交集的定义直接可得. 【详解】因，所以或， 所以. 故答案为： 3. 已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】因为等差数列的首项，前6项的和为12， 所以， 解得 ， 故答案为：2 4. 在的二项展开式中，项的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求． 【详解】的二项展开式的通项为: ． 由，得． 的二项展开式中，项的系数是． 故答案为：． 5. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 【答案】0或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的系数关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：0或. 6. 在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，  点E在线段AB上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 所以， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7. 已知，且，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 8. 在中，，则的值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理可得，，利用余弦定理求得，进而求得. 【详解】，，即， 同理，由，可得， 在中，由余弦定理得， . 故答案为：. 9. 设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用已知求得，进而计算即可求得. 【详解】设，所以， ， 又因为与均为实数，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 10. 分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有__________种. 【答案】1560 【解析】 【分析】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解. 【详解】先将6名记者分成4组，有和两种分法， 共种， 再将4组分配到四个会场，共种， 则有种. 故答案为：1560 11. 已知，，则的解集为____________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据已知条件，先求得的解析式，再根据的取值情况，分类讨论，列出不等式，结合函数的单调性进行求解，再取并集即可. 【详解】由已知，，，所以， 当时，，因为，即，即， 令，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以的解集为； 当时，，因为，即，即， 令，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，恒成立， 所以的解集为； 综上所述，的解集为. 12. 如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据题意，设抛物线绕坐标原点顺时针旋转，，后所得三条曲线分别为，，，根据对称性，可得三条曲线的方程，分别联立曲线与、曲线与，可求得、的坐标，根据，可求得的值；进而可求得的面积；根据对称性，可得，先求，即可判断；根据图形的对称性，可求得弦长，结合函数关系进行求解即可. 【详解】设抛物线绕坐标原点顺时针旋转，，后所得三条曲线分别为，，， 抛物线的焦点为，因此的焦点为，的焦点为，的焦点为， 因此，，，， 对于①选项，为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 又，所以，因此，故①错误； 对于②选项，由上述过程，可得，，所以三角形面积， 故②正确； 对于③选项，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分， 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分，如图， 设该阴影部分面积为，显然， 设，那么导函数，故过点的切线斜率为， 所以过点的切线为，该切线与轴交于点，因此， 则，因此，故③正确； 对于④选项，第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围城，两者关于对称， 与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 因此，因此，交点坐标为， 所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即， 因为曲线和曲线关于对称，所以直线也关于对称， 因此与曲线的交点为， 因此弦长， 设，那么，所以， 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为， 当时，即时，弦长最长，此时，故④错误. 故答案为：②③ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 14. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 15. 如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和，求出体积即可求解. 【详解】根据题意可知要使容器可盛水最多，需让平面为水平面， 取的中点，连接，，，，由于，所以四点共面， 则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和. 不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积， 因为为的中点，所以点到平面的距离为2，， 所以， 点到平面的距离为1，， 所以， 所以容器最多可盛原来水的， 故选：B 16. 已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，当，时，结合等比数列的通项和性质分析判断． 【详解】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足， 当时，则： ①当时，则为非零常数列，，符合题意，故A可能成立； ②当时，则为单调数列，恒不成立，且不合题意； 当时，可得，则： ①当时，若，为偶数时，则； 若时，为奇数时，则； 符合题意，故B可能成立； ②当，若，为偶数时，则，，， 且，即； 若，为奇数时，则，，，且， 即；故符合题意，故D可能成立； ③当，，， ，则，，可得， 则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，故C不可能成立． 故选：C． 三、解答题：（本大题共5小题，第17－19题每题14分，第20－21题每题18分，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. （1）求分数在的频率及全班人数； （2）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【小问1详解】 分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． 【小问2详解】 分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． 【小问3详解】 将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 18. 如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点M，连接. 因为是AD的中点，M是的中点，所以. 又D是SC的中点，所以，所以，由线段成比例的性质可得，. 因，平面，平面，所以平面. 同理，平面，平面，所以平面. 又因，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）构造平面，再证明平面平面，进而可得平面； （2）根据题意可建立空间直角坐标系，再用向量计算锐二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，平面，所以，， 且，所以为坐标原点，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.如图： 设，则，所以，， 因D是的中点，是的中点，所以，. 设平面的法向量为，. 所以，得，令，则，得. 因平面与坐标平面重合，所以取平面的一个法向量为. 所以锐二面角的余弦值为. 故答案为：. 19. 已知， （1）若，求函数的值域； （2）已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得，结合，可求值域； （2）化简得，利用周期求得，求得函数的零点为，或，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 若，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以函数的值域； 【小问2详解】 ， 又因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以. 令，所以， 所以，或， 解得，或， 当时，有零点，， 当时，有零点，， 因为函数在上恰有2个零点，所以， 所以实数的取值范围为. 20. 已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. （1）求面积的最大值； （2）若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： （3）是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）当为椭圆短轴顶点时的面积最大，可求面积的最大值. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，得到和，表示出，可求的值. （3）先根据条件，确定点满足的条件，再列式求点坐标. 【小问1详解】 中，，当为短轴顶点时，点到边的距离最大， 所以面积的最大值为：. 【小问2详解】 因为直线MN与轴的交点为，故可设直线方程为：. 由， 整理得：. 设，，则，. 又，由题意， 所以， 所以 ， . 所以直线的方程为：. 【小问3详解】 设的中点为，因为，所以， 因为，所以，所以，故在轴上. 根据椭圆的对称性，可知与点纵坐标相同. 如图： 设点，则，且. 由. 所以, 所以点坐标可以为：或或或. 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称是该函数的一个下界. （1）设，判断函数是否具有性质； （2）设为常数，，当且仅当满足什么条件时，函数具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，若函数具有性质，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围. 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数，，则， ∴函数在上单调递增， 即函数在上是单调函数，所以函数，不具有性质H. 【小问2详解】 函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. 【小问3详解】 当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题填对得4分，第7-12题填对得5分，否则一律得零分. 1. 函数的定义域为_____________ 2. 已知集合，集合，则_____________ 3. 已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差_____________. 4. 在的二项展开式中，项的系数为_________. 5. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 6. 在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，  点E在线段AB上运动，则的取值范围是__________. 7. 已知，且，则的最小值为____________. 8. 在中，，则的值为____________. 9. 设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 10. 分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有__________种. 11. 已知，，则的解集为____________. 12. 如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 15. 如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 16. 已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题：（本大题共5小题，第17－19题每题14分，第20－21题每题18分，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. （1）求分数在的频率及全班人数； （2）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 18. 如图所示，在四面体，平面，D是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，且，求锐二面角的余弦值. 19. 已知， （1）若，求函数的值域； （2）已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围. 20. 已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. （1）求面积的最大值； （2）若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： （3）是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称是该函数的一个下界. （1）设，判断函数是否具有性质； （2）设为常数，，当且仅当满足什么条件时，函数具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，若函数具有性质，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $