精品解析：上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

同济大学第二附属中学2025学年度第一学期期中考试 高三年级数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 全集，若集合，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，集合，故或. 故答案为：或. 2. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 3. 若复数（是虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的运算可化简所求复数. 【详解】因为复数（是虚数单位）， 所以. 故答案为：. 4. 已知向量，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故答案为：. 5. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题意可得. 故答案为： 6. 若的二项展开式中第项是常数项，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】的二项展开式中第项是常数项， 所以，解得. 故答案为：. 7. 记为数列的前项和，若，，则____ 【答案】243 【解析】 【分析】根据与的关系，利用，求出数列的通项公式，进而求出 【详解】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 故答案为：243. 8. 函数的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值是. 故答案为；. 9. 若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件确定母线与圆锥底面半径之间的数量关系，进而求母线与圆锥底面所成角的大小. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 由题意：. 设圆锥母线与底面所成的角为，则，所以. 故答案为： 10. 若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设点，其中，且有，利用已知条件得出的值，再利用可求得该椭圆离心率的值. 【详解】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设， 设点，其中，则，，， 由题意可得，所以， 所以， 因此该椭圆的离心率为. 故答案：. 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】由题可知当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球. 作出圆锥和其内切球的轴截面如图，圆锥的底面半径，圆锥的高，则母线长， 设圆锥的内切球半径， 由，可得，即，解得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解得. 所以实数的最大值为. 故答案为：. 12. 已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、的值，再由并结合向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 二､选择题（本题满分18分，共4小题，第13､14题每题4分，15､16题每题5分） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 14. 设，若幂函数的定义域为，且其图象关于轴对称，则的值可以是（ ）. A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数定义域和幂函数的奇偶性可以确定的值. 【详解】对A：若时，则函数解析式为：，定义域为，不合题意； 对B：当时，幂函数的解析式为：，定义域为，且是偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 对C：当时，幂函数的解析式为：，定义域为，不合题意； 对D：当时，幂函数解析式为：，为奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，不合题意. 故选：B 15. 投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（ ）. A. 是和 B. 只有 C. 只有 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 16. 已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析得函数为偶函数，结合已知条件得出，可求出的值，可得出函数的解析式，利用基本不等式可求得函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾， 由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为， 因为方程无解，故，即实数的取值范围是. 故选：A. 三､解答题（本题满分78分，共5小题） 17. 如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）. （1）当点是棱的中点时，求证：直线平面； （2）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法证得，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设点，由可求出的值，再利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 如图，以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 由，，得，， 又，、平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 设点，则，， 由，即，得，则，， 设平面的法向量为，则， 取，得，，从而得到平面的一个法向量是， 因为，所以点到平面的距离为. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 19. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； （2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率. 【答案】（1）,平均数为41.5岁, 中位数为42.1岁 （2） 【解析】 【分析】(1) 由频率分布直方图能求出,平均数和中位数. (2)第1,2组的人数分别为 20人, 30人, 从第 1,2组中用分层抽样的方法抽取5人, 则第 1,2组抽取的人数分别为 2人, 3人, 分别记为 . 设从 5人中随机抽取3人, 利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得: 解得. 平均数为岁. 设中位数为, 则岁. 【小问2详解】 第 1,2 组的人数分别为 20 人, 30 人, 从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人, 则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人, 3 人, 分别记为 , . 设从 5 人中随机抽取3人,为: 共 10 个基本事件, 其中第 2 组恰好抽到 2 人包含: ，, 共 6 个基本事件, 从而第 2 组中抽到 2 人的概率 . 20. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值． 【小问1详解】 设椭圆的方程为，代入已知点的坐标， 得：，解得，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如图： ①设直线的方程为，并记点，，， 由消去，得， 易知 则，． 由条件，，，直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 所以点在定直线上． ② 而，所以， 则， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为． 21. 已知函数，直线是函数在处的切线. （1）当时，求函数的单调减区间； （2）求证：直线不经过原点； （3）当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减区间为 （2）证明见解析 （3）个，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将原点代入切线方程再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【小问1详解】 解：当时，定义域为，则， 由，可得， 所以，当时，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 解：，切线的斜率为， 则切线方程为， 将原点坐标代入切线方程可得，得， 即，则，， 令，且， 假设过原点，则在时存在零点. ，所以，函数在上单调递增， 所以，当时，，所以，函数在上无零点， 与假设矛盾，故直线不过原点. 【小问3详解】 解：时，，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知，所以， 则切线的方程为， 令，则. 因为，则， 则，记， 所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为，，， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学第二附属中学2025学年度第一学期期中考试 高三年级数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一､填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 全集，若集合，则__________. 2. 不等式的解集是__________. 3. 若复数（是虚数单位），则__________. 4 已知向量，，若，则__________． 5. 已知，则__________. 6. 若的二项展开式中第项是常数项，则__________. 7. 记为数列的前项和，若，，则____ 8. 函数的最小值是__________. 9. 若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是__________. 10. 若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 11. 已知一个棱长为正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 12. 已知平面向量、、满足且，向量满足，则最大值是__________. 二､选择题（本题满分18分，共4小题，第13､14题每题4分，15､16题每题5分） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设，若幂函数的定义域为，且其图象关于轴对称，则的值可以是（ ）. A. B. 1 C. D. 2 15. 投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（ ）. A. 是和 B. 只有 C. 只有 D. 不存在 16. 已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 三､解答题（本题满分78分，共5小题） 17. 如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）. （1）当点是棱的中点时，求证：直线平面； （2）当时，求点到平面的距离. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 19. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； （2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率. 20. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 21. 已知函数，直线是函数在处切线. （1）当时，求函数的单调减区间； （2）求证：直线不经过原点； （3）当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $