期中测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024）

2025-2026学年八年级数学上学期期中测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-四章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下面各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．下列选项中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组数是勾股数的一组是（   ） A．1，1， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 7．如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 第Ⅱ卷 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．81的平方根是 ； ． 10．如图，数轴上点A对应的数是 ． 11．如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为 ．    12．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 13．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．计算 (1) (2) (3)解方程： 15．(1).如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①请画出关于轴对称的图形； ②请写出点，的坐标：________，_______． (2). 要在燃气管道m上建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方可使所用输气管道最短？请在图中画出P点位置，保留作图痕迹，不用写作法． 16．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 17．某校八年级学生外出到青少年社会实践基地进行实践活动．为了提前做好准备工作，学校安排轿车提前送负责人前往，小时后学生乘坐客车去目的地，轿车到达目的地后立即返回，当轿车返回到学校时，客车恰好到目的地．如图是两车距学校的路程（千米）与客车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)轿车出发去目的地的行驶速度是__________千米/小时； (2)当轿车从目的地返回时，求轿车距学校的路程与之间的函数解析式； (3)当两车之间的路程超过千米时，直接写出的取值范围． 18．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 19．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 20．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-四章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下面各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解： A.是分数，属于有理数； B.，是整数，属于有理数； C.∵ ，，2026不是完全平方数， ∴ 是无理数； D.是有限小数，属于有理数； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而求出即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 3．下列选项中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是分数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、可以分解为，是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； D、可以分解为，其中是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．下列各组数是勾股数的一组是（   ） A．1，1， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数问题，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 若三个正整数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意． 故选D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减法运算以及二次根式的化简，仔细计算是解题关键； 直接利用二次根式的加减法运算以及二次根式的化简，逐一判断即可． 【详解】解： A、，故原计算正确，符合题意； B、两者不能合并，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、两者不能合并，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 6．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 7．如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想，关键是将图中点P的运动与选项中的函数图象进行对应． 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由点P的运动可知，点在边上运动时，的面积逐渐变大，可以判断选项不符合题意； 点在边上运动时，的面积不变， 点在边上运动时，的面积逐渐变小， 符合题意的选项为A， 故选：A． 8．如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是3米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题5小题，每小题3分，共15分． 9．81的平方根是 ； ． 【答案】 【分析】此题考查了平方根和立方根，根据平方根和立方根的求法进行解答即可． 【详解】解：的平方根是， ， 故答案为：， 10．如图，数轴上点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，再根据，得出，进而可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理得出：， ∵， ∴， ∴点A表示的数为：， 故答案为：． 11．如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，长，长， ， 故答案为：10． 12．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．根据已知的函数关系式，将自变量代入，进而求出对应的函数值． 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分. 14．计算 (1) (2) (3)解方程： 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程等知识． （1）计算立方根、绝对值、平方根、乘方后，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （3）整理后得到，根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ∴ ∴， 15．(1).如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①请画出关于轴对称的图形； ②请写出点，的坐标：________，_______． (2). 要在燃气管道m上建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方可使所用输气管道最短？请在图中画出P点位置，保留作图痕迹，不用写作法． 【答案】(1)①图见详解，②，； (2)图见详解； 【分析】（1）①本题考查作轴对称图形，根据轴对称图形的性质：对称点连线被对应轴垂直平分，找到对应点直接作图即可得到答案；②本题考查写坐标，根据①的图形写出坐标即可得到答案； （2）本题考查作轴对称图形，作A点的对称点，连接对称点与B点交燃气管道于一点即为P点； 【详解】（1）解：①根据轴对称的性质得，如图所示， ②由①得， ，， 故答案为：，； （2）解：作A关于m的对称点，连接交燃气管道于一点即为P点，如图所示， 16．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 17．某校八年级学生外出到青少年社会实践基地进行实践活动．为了提前做好准备工作，学校安排轿车提前送负责人前往，小时后学生乘坐客车去目的地，轿车到达目的地后立即返回，当轿车返回到学校时，客车恰好到目的地．如图是两车距学校的路程（千米）与客车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)轿车出发去目的地的行驶速度是__________千米/小时； (2)当轿车从目的地返回时，求轿车距学校的路程与之间的函数解析式； (3)当两车之间的路程超过千米时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）根据图象得出距离，进而求出速度； （）利用待定系数法求解即可； （）根据图象分或两种情况讨论即可； 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是看懂函数图象，利用数形结合的思想求解． 【详解】（1）根据图象可知：轿车出发去目的地的行驶速度是（千米/小时）， 故答案为：； （2）当时，设y与x之间的函数关系式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （3）当时，设y与x之间的函数关系式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴y与x之间的函数关系式为， 如图， 同理解析式为：， 当，解得：， 或当，解得： ∴的取值范围或． 18．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 19．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了材料阅读，二次根式的混合运算，分母有理化，读懂阅读材料是解答本题的关键． （1）根据有理化因式和分母有理化解决问题； （2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可； （3）先利用分母有理化，计算出、、的倒数，则可判断，从而得到、、的大小． 【详解】（1）解：， 的一个有理化因式为； ； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 20．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，根据三垂直证明三角形全等即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点， 则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 则，故， 直线为， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即取值范围为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $