专题07图形的轴对称（讲义）2025-2026学年浙教版数学八年级上册

专题07 图形的轴对称 知识清单 【知识点01】轴对称图形 （1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 例：等腰三角形（1条对称轴）、正方形（4条对称轴）、圆（无数条对称轴）等。 （2）性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 注：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.即对称轴垂直于对应点的连线，且经过连线的中点。例如，等腰三角形顶角的平分线所在直线是对称轴，它垂直平分底边（底边两端点为一对对应点）。 【知识点02】图形的轴对称（成轴对称） （1）定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折 叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称（line symmetry），这条直线也叫作对称轴。 例：斜放的天平两侧的托盘关于中轴线对称。 （2）性质：①成轴对称的两个图形是全等图形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 【知识点03】轴对称图形与图形的轴对称的区别和联系 轴对称图形 图形的轴对称（成轴对称） 对象 单个图形 两个图形 核心 图形自身具有的对称特性 两个图形之间的对称位置关系 对称轴作用 划分图形为能够重合的两部分 连接两个图形，使它们折叠后重合 o联系： 若将一个轴对称图形沿对称轴分成两个部分，则这两个部分关于这条对称轴成轴对称。 若将成轴对称的两个图形视为一个整体，则这个整体是一个轴对称图形。 【知识点04】作轴对称图形 （1）通用方法（适用于所有几何图形） 几何图形可看作点的集合（点是构成图形的基本元素 ）。要作原图形的轴对称图形，步骤为： ①找特殊点：确定原图形上的关键点（如多边形的顶点、曲线的拐点等）； ②作对应点：分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（依据“对称轴垂直平分对应点连线”，用尺规或坐标法精准作图）； ③连对应点：按原图形的点序，顺次连接所有对称点，得到的新图形即为原图形的轴对称图形。 （2）简化方法（适用于直线、线段、射线组成的图形） 对于由直线、线段、射线构成的图形（如三角形、角、线段本身），无需找所有点，只需聚焦关键特殊点： 若为线段，取两个端点作对称点，连接后就是原线段的轴对称图形； 若为多边形（如三角形），取各顶点作对称点，顺次连接即可； 若为角，取顶点和边上特殊点（如距离顶点等距的点）作对称点，还原角的轴对称形态。 拓展理解与应用 （1）对称轴的多样性： 轴对称图形的对称轴可能有1条（如等腰梯形）、多条（如正六边形有6条）或无数条（如圆）；成轴对称的两个图形，对称轴只有1条。 （2）对称性质的应用： o利用“对称轴垂直平分对应点连线”，可通过已知点找到其对称点（如作某点关于直线的对称点）。 o利用“成轴对称的图形全等”，可简化几何证明（如通过对称转化线段或角的关系）。 （3）生活中的轴对称： 建筑设计（如故宫的对称布局）、艺术图案（如剪纸）、标志设计（如中国银行logo）等，均广泛应用轴对称原理，体现对称美与稳定性。 考点1 轴对称图形的识别 【典例1】下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据图形沿着某条直线对折，直线两侧的图形能完全重合，则该图形为轴对称图形． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知A、C、D均是轴对称图形， 只有B不是轴对称图形， 故选：B． 【变式1】剪纸艺术是我国民间艺术瑰宝．光明中学的学生利用活动课学习剪纸，下列剪纸属于轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【变式2】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）进行选择即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称的概念，熟知轴对称图形的特点是解题的关键． 考点2 成轴对称图形的判断 【典例1】下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意； B．两个图形不成轴对称，不符合题意； C．两个图形不成轴对称，不符合题意； D．两个图形成轴对称，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 【变式1】如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质仔细观察各选项图形即可得解． 【详解】观察可知，B选项中，线段AB与A′B′（AB=A′B′）不关于直线l成轴对称， A、C、D选项线段AB与A′B′（AB=A′B′）都关于直线l成轴对称． 故选：B． 【点睛】此题考查轴对称的性质，熟记轴对称的性质并准确识图是解题的关键． 考点3 设计轴对称图形 3.设计轴对称图形 【典例1】如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【答案】有2种，图形见解析． 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图如下： 【变式1】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分完全重合画图即可． 【详解】解：在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影如下图所示：（答案不唯一） 【变式2】在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解； 【解析】如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：C． 考点4 成轴对称图形的性质 【典例1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．根据轴对称的性质解答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，但不一定相等， 故选：D． 【变式1】如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：由题意与关于直线对称，P为上任意一点， ∵对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等， ∴， ∴是等腰三角形，选项A正确，不符合题意； ∵轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分， ∴垂直平分，，选项B正确，不符合题意； ∵轴对称图形对应的角、线段都相等， ∴△ABC与是全等三角形，面积也必然相等，选项C选项正确，不符合题意； ∵直线、关于直线对称，因此交点一定在上． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等． 考点5 与轴对称的性质有关的计算问题 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解． 【解析】∵∠BAC＝90°，∠B＝50°， ∴∠C＝40°， ∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'， ∴∠AB'B＝∠B＝50°， ∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°， 故选：A． 【典例2】如图， 和关于直线L对称，，，的周长为25，则 【答案】8 【分析】本题考查关于直线成轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质得出，进而得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵ 和关于直线L对称， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【变式1】如图，在中，，D是上任意一点，M和N分别是点D关于和的对称点．连接和，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键，利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点和点分别是点关于和的对称点， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称图形的特征．根据“关于某直线对称的图形对应边相等”即可求得结果． 【详解】解：∵与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 考点6 轴对称的实际应用——镜面对称问题 【典例1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 【变式1】在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：实际时间是； 故答案为． 【变式2】从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 ． 【答案】50281 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281． 故答案为50281. 考点7 轴对称性质的应用——求最值 【典例1】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过 作 于点 ，交 于点 ， 过 点 作 于 ，则 即为 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 的长，即为 的最小值； 【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：    ∵ 平分 于点 于 ， ∴， ∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合， ∵三角形 的面积为 ， ∴， ∴， 即 的最小值为 6 ； 故选：D 【变式1】如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（ ） A．全等 B．不一定全等 C．面积不一样大 D．周长不一样 【分析】根据轴对称图形的性质进行判断并作出正确的选择． 【解答】解：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，由此可以得到：两个图形成轴对称，则这两个图形全等． 故选：A． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握轴对称图的性质是解题关键． 3．如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断. 【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是   故选：A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形. 4．如图，与关于直线对称，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：与关于直线对称， ≌， ， ， ． 5．下列说法错误的是（　　） A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合 B．线段是轴对称图形 C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条 【分析】根据轴对称的概念以及性质对各选项分析判断即可得解． 【解析】A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确，故本选项错误； B、线段是轴对称图形，正确，故本选项错误； C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定，故本选项正确； D、轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，故本选项错误． 故选：C． 6．将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ， ， 长方形的两条长边平行， ， ． 7．如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 【分析】由轴对称的性质得OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果． 【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图： ∵点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2， ∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7， ∵OP1+OP2＞P1P2， ∴0＜P1P2＜3.4， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称的性质和三角形三边的关系． 8．如图，在中，，，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，然后利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9．（温州校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】证明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得结论． 【解答】解：∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上， ∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC， ∵BC垂直平分AB′， ∴DA＝DB′，∠ACB＝90°， ∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B， ∵∠B+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°， ∴AD＝DB＝2CD， ∴2， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，∠B＝30°． 10．两名同学用棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋落子，黑棋落子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，棋子的位置用数对表示，如点在．则下列落子方法不正确的是（    ）    A．黑；白 B．黑；白 C．黑；白 D．黑；白 【答案】D 【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A. 黑；白，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；    B. 黑；白，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；    C. 黑；白，如图所示，能构成轴对称图形，故该选项正确，不符合题意；    D. 黑；白 如图所示，不能构成轴对称图形，故该选项不正确，符合题意；    故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称图形，有一定难度，注意细心判断． 11．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求得∠D+∠G＝50°，继而求得答案． 【解答】解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小． ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠EPF＝130°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 【点评】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质．关键是利用轴对称解决问题． 12．在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是　 　． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对常见图形进行判断． 【解析】线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意； 直角的角平分线所在的直线就是对称轴，是轴对称图形，符合题意； 等腰三角形底边中线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意； 直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意． 故成轴对称图形的是：线段、直角、等腰三角形． 故答案为：线段、直角、等腰三角形． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，点为边上一动点，分别作点关于，的对称点，，连接，，则的度数等于 ． 【答案】/146 【分析】此题考查轴对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答． 利用轴对称的性质得出，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，并确定出相等的角是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质得出，，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【解答】解：如图， 作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M， ∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°， 由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°． 故答案为：100° 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 16．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短． 解：如图． 作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''， 分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求． 此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''， 即最小值为P'P''的长度． 17．如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点． （2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有 　 　个． 【分析】根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）； （2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在网格上）． （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′； （2）在MN上画出点P，使得PA+PC最小． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （2）连接AC′交MN于点P，连接PC，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作； （2）如图，点P为所作； 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 19．如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长． 【答案】5cm 解：∵P与关于OA对称， ∴OA为线段的垂直平分线， ∴， 同理，P与关于OB对称， ∴OB为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长为5cm． 20．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段AC与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 【详解】（1）∵和关于直线m对称 ∴对称点有A和，B和，C和． （2）∵和关于直线m对称 ∴ 在中，， ∴． （3）∵和关于直线m对称 ∴直线m垂直平分线段，． （4）∵和关于直线m对称 ∴它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上． 规律：若两条线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴m上． 21．如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F． (1)若的周长是，求的长； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点M，N分别是点P关于的对称点， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到，是解题的关键． 22．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8cm，DE＝10cm，BC＝6cm． （1）线段AD与MN的关系是什么？ （2）求∠F的度数； （3）求△ABC的周长和△DEF的面积． 【分析】（1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分可以得到； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到周长和面积相等； 【解答】解：（1）∵△ABC与△DEF关于直线MN对称， ∴MN垂直平分AD； （2）∵△ABC与△DEF关于直线MN对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F＝90°； （3）∵AC＝8cm，DE＝10cm，BC＝6cm， ∴DE＝AB＝10cm， ∴△ABC的周长＝6+8+10＝24cm； △DEF的面积＝×6×8＝24cm2． 【点评】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是了解关于某条直线对称的两个图形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 图形的轴对称 知识清单 【知识点01】轴对称图形 （1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 例：等腰三角形（1条对称轴）、正方形（4条对称轴）、圆（无数条对称轴）等。 （2）性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 注：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.即对称轴垂直于对应点的连线，且经过连线的中点。例如，等腰三角形顶角的平分线所在直线是对称轴，它垂直平分底边（底边两端点为一对对应点）。 【知识点02】图形的轴对称（成轴对称） （1）定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折 叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称（line symmetry），这条直线也叫作对称轴。 例：斜放的天平两侧的托盘关于中轴线对称。 （2）性质：①成轴对称的两个图形是全等图形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 【知识点03】轴对称图形与图形的轴对称的区别和联系 轴对称图形 图形的轴对称（成轴对称） 对象 单个图形 两个图形 核心 图形自身具有的对称特性 两个图形之间的对称位置关系 对称轴作用 划分图形为能够重合的两部分 连接两个图形，使它们折叠后重合 o联系： 若将一个轴对称图形沿对称轴分成两个部分，则这两个部分关于这条对称轴成轴对称。 若将成轴对称的两个图形视为一个整体，则这个整体是一个轴对称图形。 【知识点04】作轴对称图形 （1）通用方法（适用于所有几何图形） 几何图形可看作点的集合（点是构成图形的基本元素 ）。要作原图形的轴对称图形，步骤为： ①找特殊点：确定原图形上的关键点（如多边形的顶点、曲线的拐点等）； ②作对应点：分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（依据“对称轴垂直平分对应点连线”，用尺规或坐标法精准作图）； ③连对应点：按原图形的点序，顺次连接所有对称点，得到的新图形即为原图形的轴对称图形。 （2）简化方法（适用于直线、线段、射线组成的图形） 对于由直线、线段、射线构成的图形（如三角形、角、线段本身），无需找所有点，只需聚焦关键特殊点： 若为线段，取两个端点作对称点，连接后就是原线段的轴对称图形； 若为多边形（如三角形），取各顶点作对称点，顺次连接即可； 若为角，取顶点和边上特殊点（如距离顶点等距的点）作对称点，还原角的轴对称形态。 拓展理解与应用 （1）对称轴的多样性： 轴对称图形的对称轴可能有1条（如等腰梯形）、多条（如正六边形有6条）或无数条（如圆）；成轴对称的两个图形，对称轴只有1条。 （2）对称性质的应用： o利用“对称轴垂直平分对应点连线”，可通过已知点找到其对称点（如作某点关于直线的对称点）。 o利用“成轴对称的图形全等”，可简化几何证明（如通过对称转化线段或角的关系）。 （3）生活中的轴对称： 建筑设计（如故宫的对称布局）、艺术图案（如剪纸）、标志设计（如中国银行logo）等，均广泛应用轴对称原理，体现对称美与稳定性。 考点1 轴对称图形的识别 【典例1】下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】剪纸艺术是我国民间艺术瑰宝．光明中学的学生利用活动课学习剪纸，下列剪纸属于轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点2 成轴对称图形的判断 【典例1】下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 考点3 设计轴对称图形 3.设计轴对称图形 【典例1】如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【变式1】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【变式2】在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 故选：C． 考点4 成轴对称图形的性质 【典例1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 考点5 与轴对称的性质有关的计算问题 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【典例2】如图， 和关于直线L对称，，，的周长为25，则 【变式1】如图，在中，，D是上任意一点，M和N分别是点D关于和的对称点．连接和，则的度数为 ． 【变式2】如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 考点6 轴对称的实际应用——镜面对称问题 【典例1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【变式1】在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 【变式2】从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是 ． 考点7 轴对称性质的应用——求最值 【典例1】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ． 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（ ） A．全等 B．不一定全等 C．面积不一样大 D．周长不一样 3．如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   4．如图，与关于直线对称，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合 B．线段是轴对称图形 C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条 6．将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（温州校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（　　） A． B． C． D．2 10．两名同学用棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋落子，黑棋落子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，棋子的位置用数对表示，如点在．则下列落子方法不正确的是（    ）    A．黑；白 B．黑；白 C．黑；白 D．黑；白 11．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 12．在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是　 　． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，点为边上一动点，分别作点关于，的对称点，，连接，，则的度数等于 ． 14．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若，则 ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 16．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短． 17．如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点． （2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有 　 　个． 18．如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在网格上）． （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′； （2）在MN上画出点P，使得PA+PC最小． 19．如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长． 20．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段AC与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 21．如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F． (1)若的周长是，求的长； (2)若，试求的度数． 22．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8cm，DE＝10cm，BC＝6cm． （1）线段AD与MN的关系是什么？ （2）求∠F的度数； （3）求△ABC的周长和△DEF的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $