期中考前满分冲刺之中等易错题-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、数轴上的无理数(选、填) 1．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，且点到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（　　） A． B． C．1 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵， ∴点C表示的数为， 故选：D． 2．如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到，可以得到，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ∵，， ， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 3．如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出，进而根据点的位置即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在数轴上所表示的数是， 故选：． 4．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 5．如图，为原点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与数轴上的点表示数，运用数形结合思想．解题关键是先利用勾股定理求出的长度（即的长度），再结合点A的位置计算点C表示的数；易错点是对与数轴上点的位置关系判断错误，导致数的符号或数值计算出错．首先在中，根据勾股定理计算的长度：．其次因为以A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于C，所以．最后点A表示的数是2，则点C表示的数为． 【详解】解：在中，，，根据勾股定理： ． 由题意得． 由图可知点C表示的数为：． 故答案为：． 6．如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示，，．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：． 类型二、一次函数的平移(选、填) 1．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的新函数图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的平移变换．求出平移后图象的函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：一次函数的图象向下平移4个单位的解析式为， 当时，，故A正确，B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误； 故选：A． 2．将直线向下平移2个单位，相当于将直线（    ） A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键． 函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案． 【详解】解：将直线向下平移2个单位，可得函数解析式为：， 直线向左平移2个单位，可得，故A不符合题意； 直线向左平移1个单位，可得，故B不符合题意； 直线向右平移2个单位，可得，故C不符合题意； 直线向右平移1个单位，可得，故D符合题意； 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 4．将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是，即， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移． 直接根据上加下减的平移规律作答即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为， 故答案为：． 类型三、估算二次根式(选、填) 1．估算的结果（   ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和之间 D．在和之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， . 原式结果在9和10之间， 故选：C． 2．估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，由估算方法得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 3．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 用“夹逼法”估算即可. 【详解】解：∵， 则5＜＜6， 故选：C． 4．估算的值 ． 【答案】7.9 【分析】本题考查了无理数的估算，根据“夹逼法”求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7.9． 5．估算的整数部分的数值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分的数值是4， 故答案为：4 ． 6．因为，所以可估算的大小在整数 与 之间． 【答案】 4 5 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据夹逼法可得答案． 【详解】解：，， ∴， 的大小在整数4与5之间， 故答案为：4，5（两空答案可互换）． 类型四、等积法(选、填) 1．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若，，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及斜边上的中线等于斜边的一半．先根据勾股定理，得出，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 即点D，C两点间的距离为． 故选：B 2．如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作，垂足分别为D，E，F，得到，利用勾股定理，直角三角形的面积公式，图形的面积和解答即可． 本题考查了角的平分线性质，勾股定理，直角三角形的面积性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，垂足分别为D，E，F， ∵点是平分线的交点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积法，勾股定理，过点分别作、、，连接，由角平分线的性质得出，利用勾股定理求出利用三角形面积求法得出答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作、、，连接，如图： ∵点为和的角平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴点到的三边的距离相等， 即， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D到边的距离为， 故选：A． 4．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 5．已知中，射线是的角平分线，点是上的一点． （1）若，，，且点在边上，则点到的距离为 ． （2）当点在内，，连接，若，则 ． 【答案】 3 12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，由勾股定理的逆定理推出，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式进行解题； （2）延长交于，判定≌，推出，由三角形的面积公式进行解题． 【详解】解：（1）如图①，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； 故答案为：3； （2）如图②，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 12． 6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，是的中线．若， 则点C到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，过点C作于点F，先证明，根据等腰三角形性质得出，，根据勾股定理求出，根据等积法求出． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 类型五、程序流程图(选、填) 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 2．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 3．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 4．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 5．有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的运算，根据程序图运算判断即可． 【详解】，取算术平方根为4， 4不是无理数，继续取算术平方根为2， 2不是无理数，继续取算术平方根为， 是无理数，输出． 故答案为：． 6．一个数值转换器，如图所示： （1）当输入的为16时，输出的的值是 ． （2）若输出的是，请写出一个满足要求的的值 ． 【答案】 25（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根． （1）根据算术平方根的性质，即可解答； （2）根据算术平方根的性质，即可解答． 【详解】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， ∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， ∴2的算术平方根是，是无理数，输出的的值是， 故答案为：； （2）25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 故答案为：25（答案不唯一）． 类型六、数轴中的绝对值与根式化简(选、填) 1．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置可得，，，再根据算术平方根，绝对值和立方根的定义化简即可． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ＝ ＝ 故选C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的关键． 3．实数a、b在数轴上位置如图，则化简为（　　） A．﹣a     B．﹣3a C．2b+a D．2b﹣a 【答案】B 【分析】由数轴可知，b＜0＜a，且|b|＞|a|，由此可知a＋b＜0，立方根化简时，不需要判断（a−b）的符号． 【详解】解：∵b＜0＜a，且|b|＞|a|， ∴a+b＜0， ∴ ＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b） ＝﹣3a， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴的关系．关键是 根据数轴判断数a、b的范围，根据范围去绝对值，化简二次根式，一个数立方的立方根等于这个数本身． 4．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 5．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴原式； 故答案为：． 6．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 【答案】a 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 类型七、勾股定理(逆定理)的解决应用(选、填、解) 1．如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 2．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 3．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 5．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2)B向外移动米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴米． （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 6．2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 类型八、阴影部分面积(选、填、解) 1．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， 即阴影部分的面积是18． 故选：A． 3．如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积，由题意得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 【答案】14 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和．根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：14． 5．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 6．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 类型九、折叠问题(选、填、解) 1．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 3．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； （2）过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 4．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 5．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 6．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 类型十、分母有理化(选、填、解) 1．下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，把分子、分母都乘以化简即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．已知，．则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，通过对进行分母有理化，化简后得到，与的值相同，因此与相等． 【详解】解：已知，对分母进行有理化：分子和分母同时乘以， 得， 又， 所以 ． 故答案为：． 4．在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)______；______． (2)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查二次根式的分母有理化和整体代入法求代数式的值． （1）小题通过分母有理化求解； （2）小题先分母有理化求出的值，再利用整体代入法求值． 【详解】（1）解：；． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 6．阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： (1)与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空利用平方差公式求解即可；对于第二空，分子和分母同时乘以后约分即可； （2）先分母有理化和计算绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：， ∴与互为有理化因式； ； 故答案为：；． （2）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、数轴上的无理数(选、填) 1．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，且点到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（　　） A． B． C．1 D．1 2．如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 3．如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 5．如图，为原点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 6．如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示，，．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 类型二、一次函数的平移(选、填) 1．将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的新函数图象经过点（    ） A． B． C． D． 2．将直线向下平移2个单位，相当于将直线（    ） A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．将直线沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数解析式是 ． 5．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为 ． 类型三、估算二次根式(选、填) 1．估算的结果（   ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和之间 D．在和之间 2．估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．估算的值 ． 5．估算的整数部分的数值是 ． 6．因为，所以可估算的大小在整数 与 之间． 类型四、等积法(选、填) 1．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若，，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 5．已知中，射线是的角平分线，点是上的一点． （1）若，，，且点在边上，则点到的距离为 ． （2）当点在内，，连接，若，则 ． 6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，是的中线．若， 则点C到的距离为 ． 类型五、程序流程图(选、填) 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 3．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 5．有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 6．一个数值转换器，如图所示： （1）当输入的为16时，输出的的值是 ． （2）若输出的是，请写出一个满足要求的的值 ． 类型六、数轴中的绝对值与根式化简(选、填) 1．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（    ）    A． B． C． D． 3．实数a、b在数轴上位置如图，则化简为（　　） A．﹣a     B．﹣3a C．2b+a D．2b﹣a 4．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 5．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 6．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 类型七、勾股定理(逆定理)的解决应用(选、填、解) 1．如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 4．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 5．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 6．2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 类型八、阴影部分面积(选、填、解) 1．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 3．如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则 ． 4．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 5．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 6．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 类型九、折叠问题(选、填、解) 1．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 4．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 5．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    6．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 类型十、分母有理化(选、填、解) 1．下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，．则与的大小关系是 ． 4．在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为 ． 5．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)______；______． (2)若，请按照小丽的方法求的值． 6．阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： (1)与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； (2)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $